Sejam T, S: R^3 R^3 transformações lineares dadas por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, z) e S(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Encontre uma base para os núcleos de T circ S e S circ T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares e que agem no espaço tridimensional . O objetivo é encontrar uma base para os núcleos das composições e . Para isso, vamos precisar entender como compor transformações lineares e como encontrar o núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que a transformação envia para o zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares (T circ S)(v) = T(S(v)) e , denotada por , significa que aplicamos primeiro e depois . Ou seja, para um vetor , temos:
Vamos calcular e explicitamente.

Passo 3

Vamos começar calculando T(S(x, y, z)) = T(x + 2y, y - z, x + 2z) = ( (x + 2y) + (y - z), (y - z) + (x + 2z), x + 2z ) . Dada a transformação T(S(x, y, z)) = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z) , aplicamos a esse resultado:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular S(T(x, y, z)) = S(x + y, y + z, z) = ( (x + y) + 2(y + z), (y + z) - z, (x + y) + 2z ) . Dada a transformação S(T(x, y, z)) = (x + 3y + 2z, y, x + y + 2z) , aplicamos a esse resultado:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as expressões para T(S(x, y, z)) = 0 e S(T(x, y, z)) = 0 e , vamos encontrar o núcleo de cada uma delas. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:

Passo 6

Vamos começar com x + 3y - z = 0 x + y + z = 0 x + 2z = 0 . Temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo de .

Passo 7

Da terceira equação -2z + y + z = 0 implies y - z = 0 implies y = z , podemos expressar -2z + 3z - z = 0 implies 0 = 0 . Substituindo esse valor na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Isso confirma que a solução depende apenas de .

Passo 8

Portanto, os vetores no núcleo de (x, y, z) = (-2z, z, z) = z(-2, 1, 1) são da forma:
Assim, uma base para o núcleo de é o vetor .

Passo 9

Agora, vamos encontrar o núcleo de x + 3y + 2z = 0 y = 0 x + y + 2z = 0 . Temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo de .

Passo 10

Da segunda equação x + 2z = 0 x + 2z = 0 . Substituindo esse valor na primeira e terceira equações:
Ambas as equações resultam na mesma expressão, indicando que .

Passo 11

Portanto, os vetores no núcleo de (x, y, z) = (-2z, 0, z) = z(-2, 0, 1) são da forma:
Assim, uma base para o núcleo de é o vetor .

Resposta

Uma base para o núcleo de é e uma base para o núcleo de é .

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