Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares e que agem no espaço tridimensional . O objetivo é encontrar uma base para os núcleos das composições e . Para isso, vamos precisar entender como compor transformações lineares e como encontrar o núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que a transformação envia para o zero).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares e , denotada por , significa que aplicamos primeiro e depois . Ou seja, para um vetor , temos:
Vamos calcular e explicitamente.
Passo 3
Vamos começar calculando . Dada a transformação , aplicamos a esse resultado:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular . Dada a transformação , aplicamos a esse resultado:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as expressões para e , vamos encontrar o núcleo de cada uma delas. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:
Passo 6
Vamos começar com . Temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo de .
Passo 7
Da terceira equação -2z + y + z = 0 implies y - z = 0 implies y = z , podemos expressar -2z + 3z - z = 0 implies 0 = 0 . Substituindo esse valor na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Isso confirma que a solução depende apenas de .
Passo 8
Portanto, os vetores no núcleo de (x, y, z) = (-2z, z, z) = z(-2, 1, 1) são da forma:
Assim, uma base para o núcleo de é o vetor .
Passo 9
Agora, vamos encontrar o núcleo de x + 3y + 2z = 0 y = 0 x + y + 2z = 0 . Temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo de .
Passo 10
Da segunda equação x + 2z = 0 x + 2z = 0 . Substituindo esse valor na primeira e terceira equações:
Ambas as equações resultam na mesma expressão, indicando que .
Passo 11
Portanto, os vetores no núcleo de (x, y, z) = (-2z, 0, z) = z(-2, 0, 1) são da forma:
Assim, uma base para o núcleo de é o vetor .
Resposta
Uma base para o núcleo de é e uma base para o núcleo de é .