Sejam transformações lineares dadas por
Encontre uma base para os núcleos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares e que agem no espaço tridimensional . O objetivo é encontrar uma base para os núcleos das composições e . Para isso, vamos precisar entender como compor transformações lineares e como encontrar o núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que a transformação envia para o zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a composição de duas transformações lineares e , denotada por , significa que aplicamos primeiro e depois . Ou seja, para um vetor , temos:
Vamos calcular e explicitamente.

Passo 3

Vamos começar calculando . Dada a transformação , aplicamos a esse resultado:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Dada a transformação , aplicamos a esse resultado:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as expressões para e , vamos encontrar o núcleo de cada uma delas. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:

Passo 6

Vamos começar com . Temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo de .

Passo 7

Da terceira equação , podemos expressar . Substituindo esse valor na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Isso confirma que a solução depende apenas de .

Passo 8

Portanto, os vetores no núcleo de são da forma:
Assim, uma base para o núcleo de é o vetor .

Passo 9

Agora, vamos encontrar o núcleo de . Temos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores que pertencem ao núcleo de .

Passo 10

Da segunda equação . Substituindo esse valor na primeira e terceira equações:
Ambas as equações resultam na mesma expressão, indicando que .

Passo 11

Portanto, os vetores no núcleo de são da forma:
Assim, uma base para o núcleo de é o vetor .

Resposta

Uma base para o núcleo de é e uma base para o núcleo de é .

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