Considere a transformação linear T: S2 P2 definida por
T([ll x & y y & z ])=x+(x+y) t+(x+y+z) t^2
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x+y t+z t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar se a transformação linear T( x & y y & z ) = x + (x + y)t + (x + y + z)t^2 definida por
é um isomorfismo. Além disso, se for, precisamos encontrar a transformação inversa aplicada a um polinômio qualquer da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo no contexto de transformações lineares e como verificar se uma transformação é bijetora (injetora e sobrejetora).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que cada elemento do espaço de chegada é imagem de exatamente um elemento do espaço de partida . Se for um isomorfismo, então existe uma transformação inversa que desfaz o que fez.

Passo 3

Para verificar se é um isomorfismo, vamos checar se é injetora e sobrejetora. Uma maneira eficiente de fazer isso é verificar se a transformação está representada por uma matriz invertível. Como estamos lidando com espaços vetoriais de dimensão finita, se a matriz de tiver determinante diferente de zero, então é invertível, ou seja, um isomorfismo.

Passo 4

Vamos determinar a matriz que representa a transformação 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 . Primeiro, precisamos escolher bases para 1, t, t^2 e .
  • Para (espaço das matrizes simétricas 2x2), uma base pode ser:
  • Para (espaço dos polinômios de grau ≤2), a base padrão é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar 1 & 0 0 & 0 a cada vetor da base de T( 1 & 0 0 & 0 ) = 1 + (1 + 0)t + (1 + 0 + 0)t^2 = 1 + t + t^2 e expressar o resultado em termos da base de 0 & 1 1 & 0 .
  1. Para T( 0 & 1 1 & 0 ) = 0 + (0 + 1)t + (0 + 1 + 0)t^2 = t + t^2 :
0 & 0 0 & 1
  1. Para T( 0 & 0 0 & 1 ) = 0 + (0 + 0)t + (0 + 0 + 1)t^2 = t^2 :
  1. Para :

Passo 6

Agora, vamos escrever a matriz de [T] = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 com base nos resultados obtidos:
Cada coluna corresponde aos coeficientes dos polinômios obtidos nas aplicações de aos vetores da base de .

Passo 7

Para verificar se det([T]) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 = 1 é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz é invertível. Calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.

Passo 8

Agora que sabemos que [T]^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 é um isomorfismo, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa de .
A matriz inversa de é:

Passo 9

Finalmente, para encontrar x y z , representamos o vetor a b c = [T]^-1 x y z = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 x y z = x - x + y - y + z e aplicamos T^-1(x + y t + z t^2) = x & -x + y -x + y & - y + z :

[

[T]^{-1}



]
Isso significa que:

Resposta

Sim, T^-1(x + y t + z t^2) = x & -x + y -x + y & - y + z é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por:

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