Verifique se é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar se a transformação linear definida por
é um isomorfismo. Além disso, se for, precisamos encontrar a transformação inversa aplicada a um polinômio qualquer da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo no contexto de transformações lineares e como verificar se uma transformação é bijetora (injetora e sobrejetora).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é tanto injetora quanto sobrejetora. Isso significa que cada elemento do espaço de chegada é imagem de exatamente um elemento do espaço de partida . Se for um isomorfismo, então existe uma transformação inversa que desfaz o que fez.
Passo 3
Para verificar se é um isomorfismo, vamos checar se é injetora e sobrejetora. Uma maneira eficiente de fazer isso é verificar se a transformação está representada por uma matriz invertível. Como estamos lidando com espaços vetoriais de dimensão finita, se a matriz de tiver determinante diferente de zero, então é invertível, ou seja, um isomorfismo.
Passo 4
Vamos determinar a matriz que representa a transformação . Primeiro, precisamos escolher bases para e .
Para (espaço das matrizes simétricas 2x2), uma base pode ser:
Para (espaço dos polinômios de grau ≤2), a base padrão é:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a cada vetor da base de e expressar o resultado em termos da base de .
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Agora, vamos escrever a matriz de com base nos resultados obtidos:
Cada coluna corresponde aos coeficientes dos polinômios obtidos nas aplicações de aos vetores da base de .
Passo 7
Para verificar se det([T]) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 = 1 é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz é invertível. Calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.
Passo 8
Agora que sabemos que [T]^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 é um isomorfismo, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa de .
A matriz inversa de é:
Passo 9
Finalmente, para encontrar x y z , representamos o vetor a b c = [T]^-1 x y z = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 x y z = x - x + y - y + z e aplicamos T^-1(x + y t + z t^2) = x & -x + y -x + y & - y + z :
[
[T]^{-1}
]
Isso significa que:
Resposta
Sim, T^-1(x + y t + z t^2) = x & -x + y -x + y & - y + z é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por: