Consideremos no espaço vetorial
(com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais) os vetores
.
Encontre os vetores
tais que
Encontre os vetores
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional
:
A pergunta quer que a gente encontre dois vetores desconhecidos
e
que satisfazem o seguinte sistema de equações:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre como resolver sistemas de equações lineares envolvendo vetores. Vamos precisar manipular as equações para isolar
e
.
Passo 2
Vamos olhar para a segunda equação do sistema:
Essa equação já nos dá
em termos de
. Isso é útil porque podemos substituir essa expressão para
na primeira equação. Primeiro, vamos reescrever essa relação:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na primeira equação usando a expressão que encontramos:
Substituímos
por
.
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agora, vamos subtrair
de ambos os lados para simplificar:
Em seguida, vamos isolar os termos com
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação que obtivemos no Passo 2:
Substituindo
e
:
Resposta
Os vetores que satisfazem o sistema são: