Consideremos no espaço vetorial R^3 (com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais) os vetores u=(1,2,1), v=(3,1,-2), w=(4,1,0).
Encontre os vetores y, z in R^3 tais que
u+y & =v+z v+2 z & =y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
  • u = (1, 2, 1)
  • v = (3, 1, -2)
  • w = (4, 1, 0)
A pergunta quer que a gente encontre dois vetores desconhecidos y e z que satisfazem o seguinte sistema de equações:
u + y = v + z v + 2z = y
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre como resolver sistemas de equações lineares envolvendo vetores. Vamos precisar manipular as equações para isolar y e z.

Passo 2

Vamos olhar para a segunda equação do sistema:
v + 2z = y
Essa equação já nos dá y em termos de z. Isso é útil porque podemos substituir essa expressão para y na primeira equação. Primeiro, vamos reescrever essa relação:
y = v + 2z

Passo 3

Agora, vamos substituir y na primeira equação usando a expressão que encontramos:
u + y = v + z u + (v + 2z) = v + z
Substituímos y por v + 2z.

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
u + v + 2z = v + z
Agora, vamos subtrair v de ambos os lados para simplificar:
u + 2z = z
Em seguida, vamos isolar os termos com z:
u = z - 2z u = -z
Multiplicando ambos os lados por -1, temos:
z = -u
Sabemos que u = (1, 2, 1), então:
z = -(1, 2, 1) = (-1, -2, -1)

Passo 5

Agora que temos z, podemos encontrar y usando a relação que obtivemos no Passo 2:
y = v + 2z
Substituindo v e z:
y = (3, 1, -2) + 2 cdot (-1, -2, -1) y = (3, 1, -2) + (-2, -4, -2) y = (3 - 2, 1 - 4, -2 - 2) y = (1, -3, -4)

Resposta

Os vetores que satisfazem o sistema são:
y = (1, -3, -4) z = (-1, -2, -1)

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