Sejam T: R^2 R^2 e S: R^2 R^2 transformações lineares definidas por
T(x, y)=(y, x) e S(x, y)=(0, x)
Determine:
(a) (T+S)(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir como fica a transformação linear resultante da soma de duas transformações, e , aplicadas a um ponto no plano. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares no espaço . Para resolver isso, precisamos entender como somar essas duas funções que transformam pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são transformações lineares. Basicamente, uma transformação linear é uma regra que pega um vetor de um espaço e o transforma em outro vetor, respeitando duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. No nosso caso, temos duas transformações e que agem sobre vetores em .

Passo 3

Agora, para somar duas transformações lineares, (T + S)(x, y) = T(x, y) + S(x, y) e , a gente simplesmente soma as imagens que cada uma delas dá para um ponto . Ou seja, a transformação aplicada a é igual à soma das transformações individuais aplicadas a :

Passo 4

Vamos aplicar isso usando as definições dadas:
  • (T + S)(x, y) = (y, x) + (0, x)
Então,

Passo 5

A soma de dois vetores em (T + S)(x, y) = (y + 0, x + x) = (y, 2x) é feita somando componente por componente:

Resposta

(T + S)(x, y) = (y, 2x)

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