Sejam
e
transformações lineares definidas por
Determine:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir como fica a transformação linear resultante da soma de duas transformações,
e
, aplicadas a um ponto
no plano. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares no espaço
. Para resolver isso, precisamos entender como somar essas duas funções que transformam pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são transformações lineares. Basicamente, uma transformação linear é uma regra que pega um vetor de um espaço e o transforma em outro vetor, respeitando duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade. No nosso caso, temos duas transformações
e
que agem sobre vetores em
.
Passo 3
Agora, para somar duas transformações lineares,
e
, a gente simplesmente soma as imagens que cada uma delas dá para um ponto
. Ou seja, a transformação
aplicada a
é igual à soma das transformações individuais aplicadas a
:
Passo 4
Vamos aplicar isso usando as definições dadas:
Então,
Passo 5
A soma de dois vetores em
é feita somando componente por componente:
Resposta
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes,
Sabendo que
, calcule o valor das incógnitas
.
Mostrar que são subespaços vetoriais de
os seguintes subconjuntos:
Consideremos no espaço vetorial
(com as operações de soma e multiplicação por escalar usuais) os vetores
.
Encontre os vetores tais que
Encontre os vetores
Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.