Determine a transformação linear T: R^3 P2 que satisfaz:
T(0,1,2)=6-t+t^2, T(1,1,0)=2-t e T(0,0,1)=t
Além disso, encontre T(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir uma transformação linear T(0,1,2) = 6 - t + t^2, T(1,1,0) = 2 - t, T(0,0,1) = t que transforma vetores de em polinômios de grau até 2 em . As informações que já temos são:
E o que precisamos encontrar é . Para isso, vamos precisar entender como escrever qualquer vetor como combinação linear dos vetores dados e aplicar a transformação usando a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear preserva operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u)
Isso significa que se conseguirmos expressar como combinação linear dos vetores , e , podemos aplicar diretamente.

Passo 3

Vamos escrever (1,2,3) = a(0,1,2) + b(1,1,0) + c(0,0,1) como:
0a + 1b + 0c = 1 1a + 1b + 0c = 2 2a + 0b + 1c = 3
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
Então, , , .

Passo 5

Agora que temos T(1,2,3) = aT(0,1,2) + bT(1,1,0) + cT(0,0,1) , T(1,2,3) = 1 cdot (6 - t + t^2) + 1 cdot (2 - t) + 1 cdot t e , podemos aplicar usando a linearidade:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
T(1,2,3) = (6 - t + t^2) + (2 - t) + t
= 6 - t + t^2 + 2 - t + t
= (6 + 2) + (-t - t + t) + t^2
= 8 - t + t^2

Resposta

T(1,2,3) = 8 - t + t^2

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