Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir uma transformação linear que transforma vetores de em polinômios de grau até 2 em . As informações que já temos são:
E o que precisamos encontrar é . Para isso, vamos precisar entender como escrever qualquer vetor como combinação linear dos vetores dados e aplicar a transformação usando a linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear preserva operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja:
Isso significa que se conseguirmos expressar como combinação linear dos vetores , e , podemos aplicar diretamente.
Passo 3
Vamos escrever como:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação: →
Da terceira equação: → →
Então, , , .
Passo 5
Agora que temos T(1,2,3) = aT(0,1,2) + bT(1,1,0) + cT(0,0,1) , T(1,2,3) = 1 cdot (6 - t + t^2) + 1 cdot (2 - t) + 1 cdot t e , podemos aplicar usando a linearidade: