Seja T: R^2 R^3 a transformação linear que satisfaz: T(3,1)=(-3,-2,2) e T(2,1)=(1,1,-1). Determine a matriz A tal que T(x, y)=A[lx y].
A entrada a21 da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
© -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar a matriz que representa uma transformação linear . O enunciado nos dá os valores de aplicados a dois vetores específicos: e . Nosso objetivo é determinar a entrada da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando aplicamos a transformação a um vetor. No caso, queremos que x y . A matriz terá dimensões porque mapeia vetores de para .

Passo 3

Vamos assumir que a matriz A = a11 & a12 a21 & a22 a31 & a32 é:
T(x, y) = A x y = a11x + a12y a21x + a22y a31x + a32y
Quando aplicamos a um vetor , obtemos:

Passo 4

Usando os valores fornecidos pelo enunciado:
  1. a11 cdot 3 + a12 cdot 1 = -3 a21 cdot 3 + a22 cdot 1 = -2 a31 cdot 3 + a32 cdot 1 = 2
    Isso nos dá as equações:
    a11 cdot 2 + a12 cdot 1 = 1 a21 cdot 2 + a22 cdot 1 = 1 a31 cdot 2 + a32 cdot 1 = -1
  2. Isso nos dá as equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os valores de 3a21 + a22 = -2 (1) e 2a21 + a22 = 1 (2) .
Primeiro, da segunda linha do primeiro conjunto de equações:
(3a21 + a22) - (2a21 + a22) = -2 - 1
E da segunda linha do segundo conjunto:
a21 = -3
Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):

Passo 6

Agora que encontramos , podemos verificar qual opção corresponde a esse valor.

Resposta

A entrada da matriz vale (G) -3.

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