Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear que pega 4 variáveis e retorna um vetor com 3 componentes. A gente precisa encontrar a dimensão da imagem dessa transformação, ou seja, quantas direções diferentes os vetores de saída podem ter. Para resolver isso, vamos mexer com matrizes e entender um pouco sobre o conceito de posto (rank) de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação na forma de uma matriz. Cada componente de pode ser representada por uma linha na matriz:
Passo 3
Agora, para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos descobrir o posto da matriz . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes. Para isso, vamos realizar operações nas linhas da matriz para deixá-la em uma forma mais simples, chamada forma escalonada.
Passo 4
Observando a matriz R2 = R2 + 2R1 Rightarrow -2 + 2(1) & -7 + 2(2) & -6 + 2(2) & 3 + 2(-1) = 0 & -3 & -2 & 1 , vemos que as duas últimas linhas são iguais. Isso já nos dá uma pista de que uma delas pode ser eliminada. Vamos subtrair a primeira linha multiplicada por 2 da segunda linha:
Vemos que a terceira linha é igual à segunda. Isso significa que ela não adiciona nenhuma nova informação. Então, podemos considerar apenas as duas primeiras linhas não nulas:
A = 1 & 2 & 2 & -1 0 & -3 & -2 & 1
Passo 7
Agora, a matriz está em forma escalonada e não temos mais linhas para simplificar. O número de linhas não nulas é o posto da matriz , que nesse caso é 2.