Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+2 x2+2 x3-x4, -2 x1-7 x2-6 x3+3 x4, -2 x1-7 x2-6 x3+3 x4). A dimensão da imagem de T é:
(A) 4
(B) 3
© 0
(D) 2
(E) 1
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear que pega 4 variáveis e retorna um vetor com 3 componentes. A gente precisa encontrar a dimensão da imagem dessa transformação, ou seja, quantas direções diferentes os vetores de saída podem ter. Para resolver isso, vamos mexer com matrizes e entender um pouco sobre o conceito de posto (rank) de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação A = 1 & 2 & 2 & -1 -2 & -7 & -6 & 3 -2 & -7 & -6 & 3 na forma de uma matriz. Cada componente de pode ser representada por uma linha na matriz:

Passo 3

Agora, para encontrar a dimensão da imagem de , precisamos descobrir o posto da matriz . O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes. Para isso, vamos realizar operações nas linhas da matriz para deixá-la em uma forma mais simples, chamada forma escalonada.

Passo 4

Observando a matriz R2 = R2 + 2R1 Rightarrow -2 + 2(1) & -7 + 2(2) & -6 + 2(2) & 3 + 2(-1) = 0 & -3 & -2 & 1 , vemos que as duas últimas linhas são iguais. Isso já nos dá uma pista de que uma delas pode ser eliminada. Vamos subtrair a primeira linha multiplicada por 2 da segunda linha:
A = 1 & 2 & 2 & -1 0 & -3 & -2 & 1 -2 & -7 & -6 & 3
A nova matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o R3 = R3 + 2R1 Rightarrow -2 + 2(1) & -7 + 2(2) & -6 + 2(2) & 3 + 2(-1) = 0 & -3 & -2 & 1 da terceira linha usando a primeira linha:
A = 1 & 2 & 2 & -1 0 & -3 & -2 & 1 0 & -3 & -2 & 1
A matriz fica:

Passo 6

Vemos que a terceira linha é igual à segunda. Isso significa que ela não adiciona nenhuma nova informação. Então, podemos considerar apenas as duas primeiras linhas não nulas:
A = 1 & 2 & 2 & -1 0 & -3 & -2 & 1

Passo 7

Agora, a matriz está em forma escalonada e não temos mais linhas para simplificar. O número de linhas não nulas é o posto da matriz , que nesse caso é 2.

Resposta

A dimensão da imagem de é 2.

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