Mostre que a união finita de conjuntos de conteúdo nulo é um conjunto de conteúdo nulo.

Passo 1

Então, o que a gente precisa mostrar aqui é que se você tiver um número finito de conjuntos que são de conteúdo nulo (ou seja, que têm medida zero), a união desses conjuntos também será um conjunto de conteúdo nulo. Vamos trabalhar com conceitos de teoria da medida, especificamente o que significa um conjunto ter conteúdo nulo e como as medidas se comportam quando unimos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conteúdo nulo. Em termos simples, um conjunto tem conteúdo nulo se a sua medida (ou “tamanho”, no sentido da teoria da medida) é igual a zero. Por exemplo, um único ponto na reta real tem conteúdo nulo porque sua medida é zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das medidas: a medida da união de um número finito de conjuntos é, no máximo, a soma das medidas desses conjuntos. Matemáticamente, isso é expresso por:
onde representa a medida e são os conjuntos.

Passo 4

Como estamos lidando com conjuntos de conteúdo nulo, sabemos que para cada conjunto , temos . Então, substituindo na desigualdade:
Isso nos mostra que a medida da união desses conjuntos é, no máximo, zero.

Passo 5

Já que a medida de um conjunto não pode ser negativa, concluímos que:
Portanto, a união finita desses conjuntos também é um conjunto de conteúdo nulo.

Resposta

A união finita de conjuntos de conteúdo nulo é, de fato, um conjunto de conteúdo nulo.

Exercícios relacionados

Mostre que a transformação , transforma o que dado unitário de vértices e em um paralelogramo de área .
Considere a transformação . Represente graficamente e .
Estude a integrabilidade das funções dadas. em e .
Estude a integrabilidade das funções dadas. á em .