Mostre que a união finita de conjuntos de conteúdo nulo é um conjunto de conteúdo nulo.
Passo 1
Então, o que a gente precisa mostrar aqui é que se você tiver um número finito de conjuntos que são de conteúdo nulo (ou seja, que têm medida zero), a união desses conjuntos também será um conjunto de conteúdo nulo. Vamos trabalhar com conceitos de teoria da medida, especificamente o que significa um conjunto ter conteúdo nulo e como as medidas se comportam quando unimos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conteúdo nulo. Em termos simples, um conjunto tem conteúdo nulo se a sua medida (ou “tamanho”, no sentido da teoria da medida) é igual a zero. Por exemplo, um único ponto na reta real tem conteúdo nulo porque sua medida é zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das medidas: a medida da união de um número finito de conjuntos é, no máximo, a soma das medidas desses conjuntos. Matemáticamente, isso é expresso por:
onde
representa a medida e
são os conjuntos.
Passo 4
Como estamos lidando com conjuntos de conteúdo nulo, sabemos que para cada conjunto
, temos
. Então, substituindo na desigualdade:
Isso nos mostra que a medida da união desses conjuntos é, no máximo, zero.
Passo 5
Já que a medida de um conjunto não pode ser negativa, concluímos que:
Portanto, a união finita desses conjuntos também é um conjunto de conteúdo nulo.
Resposta
A união finita de conjuntos de conteúdo nulo é, de fato, um conjunto de conteúdo nulo.
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, transforma o que dado unitário de vértices
e
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.
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. Represente graficamente
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em
e
.
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.