Considere a transformação sigma(theta, rho, varphi) = (x, y, z) onde x = rho * sen(phi) * cos(theta), y = rho sen(φ) sen(θ) e z = ρ cos(φ)
a) Desenhe sigma(B) onde B é o conjunto rho = rho1 (rho1 > 0) constante), 0 <= theta <= 2 pi e 0 phi <= pi.
b) Desenhe sigma(B) onde B é o paralelepípedo 0 <= rho <= 1, 0 <= theta <= 2 pi e 0 <= varphi <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma transformação de coordenadas esféricas para cartesianas, usando as fórmulas:
O conteúdo envolvido aqui é transformação de coordenadas e geometria no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como a coordenada , os ângulos e definem uma posição no espaço e como esses pontos se transformam de esféricas para cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte a) do exercício: desenhar onde é o conjunto (com constante), e .
Aqui, constante define uma esfera com raio . Os ângulos e variando dentro de seus intervalos completos ( a para e a para ) cobrem toda a superfície da esfera. Portanto, será simplesmente a esfera de raio no sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): desenhar onde é o paralelepípedo definido por , e .
Neste caso, varia de a , enquanto e percorrem os mesmos intervalos que na parte a). Isso significa que estamos considerando todos os pontos dentro de uma esfera de raio , já que é o raio na coordenada esférica. O conjunto é, portanto, uma esfera sólida (ou uma bola) de raio no espaço tridimensional.

Resposta

a) é uma esfera com raio no sistema de coordenadas cartesianas.
b) é uma esfera sólida (bola) de raio no sistema de coordenadas cartesianas.

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