Considere a transformação de em dada por e Desenhe
a) sendo a reta .
b) sendo o quadrado .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação que mapeia pontos do plano para ele mesmo usando as equações e . A gente precisa desenhar a imagem dessa transformação aplicada a dois conjuntos diferentes :
a) Quando é a reta .
b) Quando é o quadrado definido por e .
Vamos precisar entender como a transformação funciona e como ela afeta esses conjuntos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde é a reta . Primeiro, vamos entender o que significa essa reta no plano . A reta é basicamente o eixo , onde todos os pontos têm igual a zero.

Passo 3

Agora, aplicando a transformação nessa reta. Usando as equações:
Como , substituímos na equação:
Então, para qualquer ponto na reta , temos .

Passo 4

Isso significa que a imagem da reta sob a transformação é a reta no plano . Em outras palavras, todos os pontos da reta são mapeados para uma reta onde é igual a .

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), onde é o quadrado definido por e . Vamos encontrar a imagem desse quadrado sob a transformação .

Passo 6

Primeiro, identificamos os vértices do quadrado :
Agora, aplicamos a transformação em cada um desses pontos:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Com esses quatro pontos transformados, a imagem da transformação é um losango com vértices em , , e . Esse losango representa a nova posição do quadrado após ser transformado pela função .

Resposta

a) A reta é transformada na reta no plano .
b) O quadrado definido por e é transformado em um losango com vértices nos pontos , , e no plano .

Exercícios relacionados

Considere a transformação onde
a) Desenhe onde é o conjunto constante), e 0 .
b) Desenhe onde é o paralelepípedo e .
Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função:
Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função: