Considere a transformação
de
em
dada por
e
Desenhe
a) sendo
a reta
.
b) sendo
o quadrado
.
a) sendo
b) sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação
que mapeia pontos do plano
para ele mesmo usando as equações
e
. A gente precisa desenhar a imagem dessa transformação aplicada a dois conjuntos diferentes
:
a) Quando é a reta
.
b) Quando é o quadrado definido por
e
.
Vamos precisar entender como a transformação funciona e como ela afeta esses conjuntos.
a) Quando
b) Quando
Vamos precisar entender como a transformação
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde
é a reta
. Primeiro, vamos entender o que significa essa reta no plano
. A reta
é basicamente o eixo
, onde todos os pontos têm
igual a zero.
Passo 3
Agora, aplicando a transformação
nessa reta. Usando as equações:
Como
, substituímos na equação:
Então, para qualquer ponto na reta
, temos
.
Passo 4
Isso significa que a imagem da reta
sob a transformação
é a reta
no plano
. Em outras palavras, todos os pontos da reta
são mapeados para uma reta onde
é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde
é o quadrado definido por
e
. Vamos encontrar a imagem desse quadrado sob a transformação
.
Passo 6
Primeiro, identificamos os vértices do quadrado
:
Agora, aplicamos a transformação
em cada um desses pontos:
-
:
→
-
:
→
-
:
→
-
:
→
Passo 7
Com esses quatro pontos transformados, a imagem da transformação
é um losango com vértices em
,
,
e
. Esse losango representa a nova posição do quadrado após ser transformado pela função
.
Resposta
a) A reta
é transformada na reta
no plano
.
b) O quadrado definido por
e
é transformado em um losango com vértices nos pontos
,
,
e
no plano
.
Exercícios relacionados
Considere a transformação
onde
a) Desenhe onde
é o conjunto
constante),
e 0
.
b) Desenhe onde
é o paralelepípedo
e
.
a) Desenhe
b) Desenhe
Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
(iv)
Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função:
Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função: