Encontre a solução do PVI dado.
(iii)
t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t)
y(-1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um Problema de Valor Inicial (PVI). A equação que temos é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Dividindo tudo por , temos:
Isso está na forma , onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . A fórmula para isso é:
Como estamos trabalhando com , podemos considerar .

Passo 4

Multiplicamos todos os termos da equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes. Vamos fazer isso:
Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:

Passo 6

Portanto:
Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Então, .

Resposta

A solução do PVI é:

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