Encontre a solução do PVI dado.
(iii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um Problema de Valor Inicial (PVI). A equação que temos é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Dividindo tudo por
, temos:
Isso está na forma
, onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. A fórmula para isso é:
Como estamos trabalhando com
, podemos considerar
.
Passo 4
Multiplicamos todos os termos da equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes. Vamos fazer isso:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Passo 6
Portanto:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Então,
.
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Encontre o valor de a para o qual a solução do PVI
permaneça finita quando
.
Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro
com o plano
. Esboce o traço da curva.
Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
(iv)
Considere a transformação
onde
a) Desenhe onde
é o conjunto
constante),
e 0
.
b) Desenhe onde
é o paralelepípedo
e
.
a) Desenhe
b) Desenhe