Encontre a solução do PVI dado.
(iv)

Passo 1

Beleza, mano! Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
com a condição inicial e . Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de equações lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por (já que ):
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a do lado direito, usamos integração por partes:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabendo que :
Isolando :

Resposta

A solução do PVI é:

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Encontre a solução do PVI dado.
(iii)

Encontre o valor de a para o qual a solução do PVI
permaneça finita quando .
Considere a transformação onde
a) Desenhe onde é o conjunto constante), e 0 .
b) Desenhe onde é o paralelepípedo e .
Considere a transformação de em dada por e Desenhe
a) sendo a reta .
b) sendo o quadrado .