Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
t y^prime+(t+1) y=t
l t y^prime+(t+1) y=t y(ln 2)=1, t>0 (v) l t y^prime+2 y=sen t y(pi / 2)=1, t

Passo 1

Beleza, mano! Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
t y^prime + (t + 1) y = t
com a condição inicial e . Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de equações lineares:
y' + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos todos os termos por y' + (1 + 1t) y = 1 (já que ):
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) , dt , que é dado por:
integral (1 + 1t) dt = t + ln |t|
Calculando a integral de mu(t) = e^t + ln t = e^t cdot t :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante t e^t y' + (t e^t)(1 + 1t) y = t e^t cdot 1 :
t e^t y' + (t e^t + e^t) y = t e^t
Simplificando:
ddt (t e^t y) = t e^t
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral ddt (t e^t y) , dt = integral t e^t , dt :
integral t e^t , dt = t e^t - e^t + C
A integral do lado esquerdo é simplesmente t e^t y = t e^t - e^t + C . Para a do lado direito, usamos integração por partes:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para y = t e^t - e^t + Ct e^t = t - 1t + Ct e^t :
y = 1 - 1t + Ct e^t
Simplificando:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 1 = 1 - 1ln 2 + Cln 2 cdot e^ln 2 para encontrar a constante 1 = 1 - 1ln 2 + C2 ln 2 :
0 = -1ln 2 + C2 ln 2 implies C2 ln 2 = 1ln 2 implies C = 2
Sabendo que :
Isolando :

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 1 - 1t + 2t e^t

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