Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
(iv)
Passo 1
Beleza, mano! Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
com a condição inicial
e
. Vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de equações lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por
(já que
):
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a do lado direito, usamos integração por partes:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabendo que
:
Isolando
:
Resposta
A solução do PVI é: