Considere a transformação definida por e a transformação linear dada por .
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o núcleo e para o conjunto imagem da composição das transformações lineares . Estamos trabalhando com espaços de polinômios de grau até 2, , e transformações lineares que mapeiam esses polinômios para outros espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor essas transformações e depois encontrar os vetores que formam o núcleo (onde a transformação resulta em zero) e a imagem (todos os possíveis resultados da transformação).
Passo 2
Primeiro, vamos entender as transformações e :
é definida por:
é dada por:
A nossa missão é compor com , ou seja, encontrar , que aplicaremos em um polinômio .
Passo 3
Vamos calcular . Primeiro, aplicamos em :
Agora, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:
Então, a transformação composta mapeia para o vetor em .
Passo 4
Vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o vetor zero em :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, temos .
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Portanto, o único polinômio no núcleo é , ou seja, o vetor zero. Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, e portanto, a base para o núcleo é o conjunto vazio.
Passo 5
Agora, vamos determinar a imagem de a + 2b + 2c c a - 2c = a 1 0 1 + b 2 0 0 + c 2 1 -2 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando 1 0 1 em qualquer polinômio 2 0 0 em 2 1 -2 .