Considere a transformação T: P2 P2 definida por T(a+b x+c x^2)=(a+b)+(b+2 c) x+c x^2 e a transformação linear S: P2 R^3 dada por S(a+b x+c x^2)=(a+b, c, a-b).
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de S circ T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o núcleo e para o conjunto imagem da composição das transformações lineares . Estamos trabalhando com espaços de polinômios de grau até 2, , e transformações lineares que mapeiam esses polinômios para outros espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor essas transformações e depois encontrar os vetores que formam o núcleo (onde a transformação resulta em zero) e a imagem (todos os possíveis resultados da transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as transformações T(a + b x + c x^2) = (a + b) + (b + 2c)x + c x^2 e S(a + b x + c x^2) = (a + b, , c, , a - b) :
  • é definida por:
  • é dada por:
A nossa missão é compor com , ou seja, encontrar , que aplicaremos em um polinômio .

Passo 3

Vamos calcular T(p(x)) = T(a + b x + c x^2) = (a + b) + (b + 2c)x + c x^2 . Primeiro, aplicamos S(T(p(x))) = S( (a + b) + (b + 2c)x + c x^2 ) = ( (a + b) + (b + 2c), , c, , (a + b) - (b + 2c) ) em S circ T (p(x)) = ( a + 2b + 2c, , c, , a - 2c ) :
Agora, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:
Então, a transformação composta mapeia para o vetor em .

Passo 4

Vamos encontrar o núcleo de S circ T (p(x)) = (a + 2b + 2c, , c, , a - 2c) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios a + 2b + 2c = 0 c = 0 a - 2c = 0 que são mapeados para o vetor zero em a - 0 = 0 Rightarrow a = 0 :
0 + 2b + 0 = 0 Rightarrow b = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, temos .
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Portanto, o único polinômio no núcleo é , ou seja, o vetor zero. Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, e portanto, a base para o núcleo é o conjunto vazio.

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem de a + 2b + 2c c a - 2c = a 1 0 1 + b 2 0 0 + c 2 1 -2 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando 1 0 1 em qualquer polinômio 2 0 0 em 2 1 -2 .
A transformação 1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 1 & 0 & -2 mapeia det = 1 cdot (0 cdot (-2) - 1 cdot 0) - 2 cdot (0 cdot (-2) - 1 cdot 1) + 2 cdot (0 cdot 0 - 0 cdot 1) = 1 cdot 0 - 2 cdot (0 - 1) + 2 cdot 0 = 0 + 2 + 0 = 2 neq 0 para . Podemos expressar isso como um sistema de vetores:
Então, a imagem é o espaço gerado pelos vetores , e .
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para o núcleo de 1 0 1 é o conjunto vazio (apenas o vetor zero) e uma base para o conjunto imagem de 2 0 0 é formada pelos vetores 2 1 -2.

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