Considere a transformação definida por e a transformação linear dada por .
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base para o núcleo e para o conjunto imagem da composição das transformações lineares . Estamos trabalhando com espaços de polinômios de grau até 2, , e transformações lineares que mapeiam esses polinômios para outros espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor essas transformações e depois encontrar os vetores que formam o núcleo (onde a transformação resulta em zero) e a imagem (todos os possíveis resultados da transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as transformações e :
  • é definida por:
  • é dada por:
A nossa missão é compor com , ou seja, encontrar , que aplicaremos em um polinômio .

Passo 3

Vamos calcular . Primeiro, aplicamos em :
Agora, aplicamos no resultado de :
Simplificando cada componente:
Então, a transformação composta mapeia para o vetor em .

Passo 4

Vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios que são mapeados para o vetor zero em :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da segunda equação, temos .
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Portanto, o único polinômio no núcleo é , ou seja, o vetor zero. Isso significa que o núcleo de contém apenas o vetor zero, e portanto, a base para o núcleo é o conjunto vazio.

Passo 5

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em qualquer polinômio em .
A transformação mapeia para . Podemos expressar isso como um sistema de vetores:
Então, a imagem é o espaço gerado pelos vetores , e .
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante dessa matriz:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para o núcleo de é o conjunto vazio (apenas o vetor zero) e uma base para o conjunto imagem de é formada pelos vetores .

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