Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada por T(x, y, z)=(3 x, x-y, 2 x+y+z). Mostre que
(T^2-I) circ(T^2-9 I)=0
em que I: R^3 R^3 é a transformação identidade, dada por I(x, y, z)=(x, y, z).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é mostrar que , onde é a transformação identidade. Basicamente, vamos mexer com transformações lineares, composição delas e ver como elas interagem. Para isso, vamos precisar calcular , subtrair a identidade e outras operações de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular T(x, y, z) = (3x, x - y, 2x + y + z) , que significa aplicar a transformação T(3x, x - y, 2x + y + z) = (3(3x), 3x - (x - y), 2(3x) + (x - y) + (2x + y + z)) duas vezes seguidas. Ou seja, = (9x, 2x + y, 6x + x - y + 2x + y + z) .
Aplicando = (9x, 2x + y, 9x + z) uma vez:
T^2(x, y, z) = (9x, 2x + y, 9x + z)
Agora, aplicamos de novo no resultado:
Vamos simplificar cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular (T^2 - I)(x, y, z) = T^2(x, y, z) - I(x, y, z) = (9x, 2x + y, 9x + z) - (x, y, z) = (8x, 2x, 9x) . A transformação identidade . Então, subtraindo de :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular (T^2 - 9I)(x, y, z) = T^2(x, y, z) - 9I(x, y, z) = (9x, 2x + y, 9x + z) - (9x, 9y, 9z) = (0, 2x - 8y, 9x - 8z) :

Passo 5

Agora, precisamos compor (T^2 - I) circ (T^2 - 9I)(x, y, z) = (T^2 - I)(0, 2x - 8y, 9x - 8z) com = (8 cdot 0, 2 cdot 0, 9 cdot 0) = (0, 0, 0) , ou seja:
Aplicando nessa nova transformação:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a composição das transformações resulta na transformação nula.

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