Seja a transformação linear dada por . Mostre que
em que é a transformação identidade, dada por .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é mostrar que , onde é a transformação identidade. Basicamente, vamos mexer com transformações lineares, composição delas e ver como elas interagem. Para isso, vamos precisar calcular , subtrair a identidade e outras operações de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que significa aplicar a transformação duas vezes seguidas. Ou seja, .
Aplicando uma vez:
Agora, aplicamos de novo no resultado:
Vamos simplificar cada componente:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular . A transformação identidade . Então, subtraindo de :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular :

Passo 5

Agora, precisamos compor com , ou seja:
Aplicando nessa nova transformação:

Resposta

Portanto, mostramos que , ou seja, a composição das transformações resulta na transformação nula.

Exercícios relacionados

Sejam transformações lineares dadas por
Determine as leis de e .
Seja é uma transformação linear invertível tal que [ ] é uma matriz de ordem , determine e .
Determine a lei da transformação linear tal que e . A seguir, encontre e e verifique se é invertível. Caso seja, determine sua inversa.
Considere a transformação definida por e a transformação linear dada por .
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de .