Seja
a transformação linear dada por
. Mostre que
em que
é a transformação identidade, dada por
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. O objetivo é mostrar que
, onde
é a transformação identidade. Basicamente, vamos mexer com transformações lineares, composição delas e ver como elas interagem. Para isso, vamos precisar calcular
, subtrair a identidade e outras operações de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que significa aplicar a transformação
duas vezes seguidas. Ou seja,
.
Aplicando
uma vez:
Agora, aplicamos
de novo no resultado:
Vamos simplificar cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular
. A transformação identidade
. Então, subtraindo
de
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, precisamos compor
com
, ou seja:
Aplicando
nessa nova transformação:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja, a composição das transformações resulta na transformação nula.
Exercícios relacionados
Sejam
transformações lineares dadas por
Determine as leis de
e
.
Seja
é uma transformação linear invertível tal que [
] é uma matriz de ordem
, determine
e
.
Determine a lei da transformação linear
tal que
e
. A seguir, encontre
e
e verifique se
é invertível. Caso seja, determine sua inversa.
Considere a transformação
definida por
e a transformação linear
dada por
.
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de .
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de