Determine o valor de para o qual a transformação dada por
não seja injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por
O que a gente precisa fazer é descobrir qual valor de faz com que essa transformação não seja injetora. Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, injeção e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetora se cada vetor de saída tem no máximo um vetor de entrada correspondendo a ele. Se não for injetora, significa que existe mais de um vetor de entrada que gera o mesmo vetor de saída.
Passo 3
Para uma transformação linear representada por uma matriz , ela é injetora se e somente se o determinante de for diferente de zero. Se o determinante for zero, a transformação não é injetora.
Passo 4
Vamos montar a matriz que representa a transformação :
Queremos achar o valor de que faz o determinante dessa matriz ser igual a zero.
Passo 5
Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada menor:
Passo 6
Substituindo de volta no determinante:
Simplificando:
Passo 7
Queremos que a transformação não seja injetora, ou seja, que o determinante seja zero:
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que faz a transformação não ser injetora é .