Determine o valor de k in R para o qual a transformação T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(3 x+y-7 z, 2 x+y-8 z,-4 x+5 y+k z)
não seja injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T(x, y, z) = (3x + y - 7z, 2x + y - 8z, -4x + 5y + k z) definida por
O que a gente precisa fazer é descobrir qual valor de faz com que essa transformação não seja injetora. Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, injeção e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetora se cada vetor de saída tem no máximo um vetor de entrada correspondendo a ele. Se não for injetora, significa que existe mais de um vetor de entrada que gera o mesmo vetor de saída.

Passo 3

Para uma transformação linear representada por uma matriz , ela é injetora se e somente se o determinante de for diferente de zero. Se o determinante for zero, a transformação não é injetora.

Passo 4

Vamos montar a matriz A = 3 & 1 & -7 2 & 1 & -8 -4 & 5 & k que representa a transformação :
Queremos achar o valor de que faz o determinante dessa matriz ser igual a zero.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A) = 3 cdot 1 & -8 5 & k - 1 cdot 2 & -8 -4 & k + (-7) cdot 2 & 1 -4 & 5 :
1 & -8 5 & k = 1 cdot k - (-8) cdot 5 = k + 40
Calculando cada menor:
2 & -8 -4 & k = 2 cdot k - (-8) cdot (-4) = 2k - 32
2 & 1 -4 & 5 = 2 cdot 5 - 1 cdot (-4) = 10 + 4 = 14

Passo 6

Substituindo de volta no determinante:
det(A) = 3(k + 40) - 1(2k - 32) - 7(14)
Simplificando:
det(A) = 3k + 120 - 2k + 32 - 98
det(A) = (3k - 2k) + (120 + 32 - 98)
det(A) = k + 54

Passo 7

Queremos que a transformação não seja injetora, ou seja, que o determinante seja zero:
k + 54 = 0
Resolvendo para k = -54 :

Resposta

O valor de que faz a transformação não ser injetora é .

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