Determine o valor de para o qual a transformação dada por
não seja injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por
O que a gente precisa fazer é descobrir qual valor de faz com que essa transformação não seja injetora. Para isso, vamos precisar entender sobre transformações lineares, injeção e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é injetora se cada vetor de saída tem no máximo um vetor de entrada correspondendo a ele. Se não for injetora, significa que existe mais de um vetor de entrada que gera o mesmo vetor de saída.

Passo 3

Para uma transformação linear representada por uma matriz , ela é injetora se e somente se o determinante de for diferente de zero. Se o determinante for zero, a transformação não é injetora.

Passo 4

Vamos montar a matriz que representa a transformação :
Queremos achar o valor de que faz o determinante dessa matriz ser igual a zero.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada menor:

Passo 6

Substituindo de volta no determinante:
Simplificando:

Passo 7

Queremos que a transformação não seja injetora, ou seja, que o determinante seja zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz a transformação não ser injetora é .

Exercícios relacionados

Considere a transformação definida por e a transformação linear dada por .
Determine uma base para o núcleo e para o conjunto imagem de .
Determine a lei da transformação linear tal que e . A seguir, encontre e e verifique se é invertível. Caso seja, determine sua inversa.
Qual a equação da normal ao gráfico de no ponto ?
Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(a) equidistam das retas