Determine a lei da transformação linear tal que e . A seguir, encontre e e verifique se é invertível. Caso seja, determine sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a lei da transformação linear que manda o vetor em e o vetor em . Para isso, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Depois, vamos analisar o núcleo e a imagem dessa transformação para ver se ela é inversível.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz . Como mapeia vetores de para , a matriz será uma matriz . Vamos chamar os elementos da matriz de , assim:
Então, a transformação pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos usar os vetores que transforma para montar um sistema de equações e encontrar os valores de .
Primeiro, temos que:
Isso dá as equações:
Segundo, temos que:
Isso dá as equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar .
Primeiro, da equação (1):
Agora, substituímos na equação (3):
Com , encontramos :
Agora, da equação (2):
Substituindo na equação (4):
Com , encontramos :
Passo 5
Agora que temos todos os elementos da matriz :
Então, a lei da transformação linear é:
Passo 6
Vamos encontrar o núcleo da transformação, que é o conjunto de todos os vetores tais que .
Isso significa resolver o sistema:
Podemos simplificar multiplicando ambas as equações por 5:
Da equação (6):
Substituindo na equação (5):
Isso confirma que a única condição é . Então, o núcleo é:
A dimensão do núcleo é 1, ou seja, .
Passo 7
Agora, vamos encontrar a imagem da transformação, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de .
Como a matriz tem duas colunas, podemos verificar a linearidade delas. As colunas de são:
Observamos que a segunda coluna é metade da primeira:
Isso significa que as colunas são linearmente dependentes, então a imagem de é uma reta no . Portanto, a dimensão da imagem é 1, ou seja, .
Passo 8
Para verificar se é inversível, precisamos checar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível. Portanto, a transformação não é inversível.
Resposta
A lei da transformação linear é dada por:
A dimensão do núcleo de é 1 () e a dimensão da imagem de também é 1 (). Como o determinante da matriz associada a é zero, a transformação não é inversível.