Determine a lei da transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(-2,1)=(-65,-35) e T(12, 4)=(2,1). A seguir, encontre dim N(T) e dim Im(T) e verifique se T é invertível. Caso seja, determine sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a lei da transformação linear que manda o vetor em e o vetor em . Para isso, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Depois, vamos analisar o núcleo e a imagem dessa transformação para ver se ela é inversível.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = a & b c & d por uma matriz T x y = A x y = a x + b y c x + d y . Como mapeia vetores de para , a matriz será uma matriz . Vamos chamar os elementos da matriz de , assim:
Então, a transformação pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos usar os vetores que T -2 1 = - 65 - 35 transforma para montar um sistema de equações e encontrar os valores de -2a + b = -65 (1) .
Primeiro, temos que:
-2c + d = -35 (2)
Isso dá as equações:
T 12 4 = 2 1
12a + 4b = 2 (3)
Segundo, temos que:
12c + 4d = 1 (4)
Isso dá as equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar -2a + b = -65 Rightarrow b = 2a - 65 .
Primeiro, da equação (1):
12a + 4(2a - 65) = 2
Agora, substituímos 12a + 8a - 245 = 2 na equação (3):
172a = 345
a = 345 times 217 = 45
b = 2 times 45 - 65 = 85 - 65 = 25
-2c + d = -35 Rightarrow d = 2c - 35
Com 12c + 4(2c - 35) = 1 , encontramos 12c + 8c - 125 = 1 :
172c = 175
Agora, da equação (2):
c = 175 times 217 = 25
Substituindo d = 2 times 25 - 35 = 45 - 35 = 15 na equação (4):
Com , encontramos :

Passo 5

Agora que temos todos os elementos da matriz A = 45 & 25 25 & 15 :
T x y = 45x + 25y 25x + 15y
Então, a lei da transformação linear é:

Passo 6

Vamos encontrar o núcleo 45x + 25y = 0 da transformação, que é o conjunto de todos os vetores 25x + 15y = 0 tais que 4x + 2y = 0 (5) .
Isso significa resolver o sistema:
2x + y = 0 (6)
y = -2x
Podemos simplificar multiplicando ambas as equações por 5:
4x + 2(-2x) = 0 Rightarrow 4x - 4x = 0
N(T) = x 1 -2 , | , x in R
Da equação (6):
Substituindo na equação (5):
Isso confirma que a única condição é . Então, o núcleo é:
A dimensão do núcleo é 1, ou seja, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a imagem 45 25 e 25 15 da transformação, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando 25 = 12 times 45, 15 = 12 times 25 a algum vetor de .
Como a matriz tem duas colunas, podemos verificar a linearidade delas. As colunas de são:
Observamos que a segunda coluna é metade da primeira:
Isso significa que as colunas são linearmente dependentes, então a imagem de é uma reta no . Portanto, a dimensão da imagem é 1, ou seja, .

Passo 8

Para verificar se det(A) = ( 45 times 15 ) - ( 25 times 25 ) = 425 - 425 = 0 é inversível, precisamos checar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível. Portanto, a transformação não é inversível.

Resposta

A lei da transformação linear T x y = 45x + 25y 25x + 15y é dada por:
A dimensão do núcleo de é 1 ( ) e a dimensão da imagem de também é 1 ( ). Como o determinante da matriz associada a é zero, a transformação não é inversível.

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