Considere a transformação T: wp2 wp2 dada por T(p(x))=p(x)+x^2 p^prime(x). Mostre que T é linear e determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Transformação Linear envolvendo polinômios de grau no máximo 2, que a gente chama de wp2. A transformação T é dada por T(p(x)) = p(x) + x^2 p^prime(x), onde p^prime(x) é a derivada de p(x). Nosso objetivo é mostrar que T é uma transformação linear e, além disso, encontrar uma base para o núcleo e para a imagem de T, além de determinar a dimensão desses espaços. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de transformação linear, núcleo, imagem, bases e dimensões no contexto de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que T é linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer polinômios p(x) e q(x) em wp2 e para qualquer escalar c, as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade: T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x))
  2. Homogeneidade: T(c p(x)) = c T(p(x))
Vamos verificar cada uma delas.

Passo 3

Aditividade:
Vamos calcular T(p(x) + q(x)):
T(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x)) + x^2(p(x) + q(x))'
Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas:
= p(x) + q(x) + x^2(p^prime(x) + q^prime(x))
Agora, vamos calcular T(p(x)) + T(q(x)):
T(p(x)) + T(q(x)) = [p(x) + x^2p^prime(x)] + [q(x) + x^2q^prime(x)]
= p(x) + q(x) + x^2(p^prime(x) + q^prime(x))
Vemos que T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x)), então a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Homogeneidade:
Vamos calcular T(c p(x)):
T(c p(x)) = c p(x) + x^2(c p(x))'
A derivada de c p(x) é c p^prime(x):
= c p(x) + x^2 c p^prime(x) = c [p(x) + x^2 p^prime(x)] = c T(p(x))
Portanto, T(c p(x)) = c T(p(x)), e a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Como as duas propriedades são verdadeiras, concluímos que T é uma transformação linear.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o núcleo de T, que é o conjunto de todos os polinômios p(x) in wp2 tais que T(p(x)) = 0. Ou seja:
p(x) + x^2 p^prime(x) = 0
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar os polinômios que pertencem ao núcleo.

Passo 6

Seja p(x) = a x^2 + b x + c, com a, b, c reais. Vamos encontrar p^prime(x):
p^prime(x) = 2a x + b
Substituindo na equação:
a x^2 + b x + c + x^2(2a x + b) = 0
Simplificando:
a x^2 + b x + c + 2a x^3 + b x^2 = 0
Como estamos trabalhando em wp2 (polinômios de grau no máximo 2), o termo 2a x^3 deve ser zero, o que implica que a = 0. Assim, a equação reduz para:
b x + c + b x^2 = 0
Para que isso seja zero para todo x, os coeficientes devem ser iguais a zero:
b = 0 c = 0
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo p(x) = 0.

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem de T, que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como T(p(x)) para algum p(x) in wp2. Ou seja:
Im(T) = p(x) + x^2 p^prime(x) mid p(x) in wp2
Vamos considerar um polinômio geral p(x) = a x^2 + b x + c e calcular T(p(x)):
T(p(x)) = a x^2 + b x + c + x^2(2a x + b) = a x^2 + b x + c + 2a x^3 + b x^2
Como estamos em wp2, o termo 2a x^3 deve ser zero, então a = 0. Assim:
T(p(x)) = 0 x^2 + b x + c + 0 + b x^2 = b x^2 + b x + c
Ou seja, qualquer polinômio na imagem de T tem a forma b x^2 + b x + c, onde b e c são reais.

Passo 8

Vamos encontrar uma base para a imagem de T. Observando a forma geral dos polinômios na imagem:
b x^2 + b x + c = b (x^2 + x) + c (1)
Então, podemos escolher os polinômios x^2 + x e 1 como vetores da base:
Base da Ima>=m(T) = x^2 + x, 1

Passo 9

Agora, vamos determinar a dimensão do núcleo e da imagem de T.
  • Núcleo: Já vimos que o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo, então dim(Núc<=o(T)) = 0ú.
  • Imagem: A base da imagem tem 2 elementos, então dim(Ima>=m(T)) = 2.

Resposta

T é uma transformação linear. Uma base para o núcleo de T é 0 com dimensão 0, e uma base para a imagem de T é x^2 + x,, 1 com dimensão 2.

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