Considere a transformação dada por . Mostre que é linear e determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Transformação Linear envolvendo polinômios de grau no máximo 2, que a gente chama de . A transformação é dada por , onde é a derivada de . Nosso objetivo é mostrar que é uma transformação linear e, além disso, encontrar uma base para o núcleo e para a imagem de , além de determinar a dimensão desses espaços. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de transformação linear, núcleo, imagem, bases e dimensões no contexto de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer polinômios e em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma delas.

Passo 3

Aditividade:
Vamos calcular :
Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas:
Agora, vamos calcular :
Vemos que , então a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Homogeneidade:
Vamos calcular :
A derivada de é :
Portanto, , e a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Como as duas propriedades são verdadeiras, concluímos que é uma transformação linear.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os polinômios tais que . Ou seja:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar os polinômios que pertencem ao núcleo.

Passo 6

Seja , com , , reais. Vamos encontrar :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Como estamos trabalhando em (polinômios de grau no máximo 2), o termo deve ser zero, o que implica que . Assim, a equação reduz para:
Para que isso seja zero para todo , os coeficientes devem ser iguais a zero:
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo .

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem de , que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como para algum . Ou seja:
Vamos considerar um polinômio geral e calcular :
Como estamos em , o termo deve ser zero, então . Assim:
Ou seja, qualquer polinômio na imagem de tem a forma , onde e são reais.

Passo 8

Vamos encontrar uma base para a imagem de . Observando a forma geral dos polinômios na imagem:
Então, podemos escolher os polinômios e como vetores da base:

Passo 9

Agora, vamos determinar a dimensão do núcleo e da imagem de .
  • Núcleo: Já vimos que o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo, então ú.
  • Imagem: A base da imagem tem 2 elementos, então .

Resposta

é uma transformação linear. Uma base para o núcleo de é com dimensão 0, e uma base para a imagem de é com dimensão 2.

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