Considere a transformação
dada por
. Mostre que
é linear e determine uma base e dê a dimensão do núcleo e da imagem de
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Transformação Linear envolvendo polinômios de grau no máximo 2, que a gente chama de
. A transformação
é dada por
, onde
é a derivada de
. Nosso objetivo é mostrar que
é uma transformação linear e, além disso, encontrar uma base para o núcleo e para a imagem de
, além de determinar a dimensão desses espaços. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos conceitos de transformação linear, núcleo, imagem, bases e dimensões no contexto de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer polinômios
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar cada uma delas.
Passo 3
Aditividade:
Vamos calcular
:
Sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas:
Agora, vamos calcular
:
Vemos que
, então a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Homogeneidade:
Vamos calcular
:
A derivada de
é
:
Portanto,
, e a propriedade de homogeneidade também está satisfeita.
Como as duas propriedades são verdadeiras, concluímos que
é uma transformação linear.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o núcleo de
, que é o conjunto de todos os polinômios
tais que
. Ou seja:
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar os polinômios que pertencem ao núcleo.
Passo 6
Seja
, com
,
,
reais. Vamos encontrar
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Como estamos trabalhando em
(polinômios de grau no máximo 2), o termo
deve ser zero, o que implica que
. Assim, a equação reduz para:
Para que isso seja zero para todo
, os coeficientes devem ser iguais a zero:
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem de
, que é o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos como
para algum
. Ou seja:
Vamos considerar um polinômio geral
e calcular
:
Como estamos em
, o termo
deve ser zero, então
. Assim:
Ou seja, qualquer polinômio na imagem de
tem a forma
, onde
e
são reais.
Passo 8
Vamos encontrar uma base para a imagem de
. Observando a forma geral dos polinômios na imagem:
Então, podemos escolher os polinômios
e
como vetores da base:
Passo 9
Agora, vamos determinar a dimensão do núcleo e da imagem de
.
-
Núcleo: Já vimos que o único polinômio no núcleo é o polinômio nulo, então
. -
Imagem: A base da imagem tem 2 elementos, então
.
Resposta
Exercícios relacionados
Prove que se
é base, e
, então
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Prove que se
, então
são linearmente dependentes.