Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a dimensão da imagem da transformação linear definida por . Isso está relacionado ao estudo de transformações lineares e suas propriedades, especificamente o conceito de imagem e dimensão. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz associada à transformação e analisar seu posto.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz da transformação . Cada coluna dessa matriz representa a transformação das base canônica de , que são os vetores , e .
Calculando , e :
Então, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, para encontrar a dimensão da imagem de , que é o posto da matriz , precisamos determinar o número de colunas linearmente independentes em . Para isso, vamos realizar operações elementares na matriz para simplificá-la e identificar essas colunas independentes.
Vamos começar com a matriz:
Primeiro, trocamos a primeira e a segunda linha para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira coluna). Nesse caso, já não há elementos abaixo do primeiro pivô na primeira coluna, então seguimos para a próxima coluna com um pivô potencial.
Observamos que a segunda coluna tem zeros na segunda e terceira linha, então passamos para a terceira coluna. O pivô nessa posição é 1 na segunda linha. Vamos usar esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele na terceira linha.
Adicionamos a segunda linha à terceira linha:
Passo 5
Agora, a matriz está na forma escalonada:
Os pivôs estão nas posições (1,1) e (2,3). Isso indica que temos dois vetores colunas que são linearmente independentes.