Considere as transformações lineares do exercício 1. Encontre a matriz que representa . Use a base para o a base para o .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está me pedindo para encontrar a matriz que representa uma transformação linear usando duas bases específicas: para e para . A gente vai precisar entender um pouco sobre transformações lineares, matrizes de mudança de base e como representar com essas bases. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que pega vetores de um espaço vetorial e os transforma em vetores de outro (ou do mesmo) espaço vetorial, respeitando duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Ou seja, e para quaisquer vetores e escalar .

Passo 3

Agora, para representar essa transformação por uma matriz, precisamos definir como age sobre os vetores da base de partida e expressar os resultados na base de chegada. As bases que você forneceu são:
  • Base para : onde:
  • Base para : onde:

Passo 4

Para encontrar a matriz de relativa a essas bases, vamos seguir os seguintes passos:
  1. Aplicar a cada vetor da base .
  2. Expressar os resultados na base .
  3. Organizar esses resultados como colunas na matriz de .

Passo 5

Vamos supor que a transformação já está definida de algum modo, talvez através de uma fórmula ou de outra matriz padrão. Contudo, como o enunciado faz referência a “transformações lineares do exercício 1” e não temos essa informação, vamos assumir que está definida por uma matriz padrão no sistema de coordenadas canônicas.
Vamos supor que seja uma matriz que define na base canônica. Para prosseguir, precisamos encontrar como se relaciona com as bases e .

Passo 6

A fórmula geral para mudar a base de uma transformação linear é:
Onde:
  • é a matriz de nas bases e .
  • é a matriz cujas colunas são os vetores da base .
  • é a matriz cujas colunas são os vetores da base .
  • é a matriz de na base canônica.

Passo 7

Vamos construir e :
Em seguida, calculamos . Para uma matriz :

Passo 8

Agora, temos que determinar a matriz que representa na base canônica. Sem a informação específica de , vamos considerar um exemplo hipotético:
Suponha que:
Para encontrar , usamos a fórmula mencionada:

Passo 9

Multiplicando as matrizes:
  1. Primeiro, multiplique por .
  2. Depois, multiplique o resultado por .

Passo 10

Após realizar as multiplicações, teremos a matriz de na base e . Cada elemento dessa matriz corresponde aos coeficientes que representam como transforma os vetores de em combinações lineares de .

Resposta

A matriz que representa a transformação linear nas bases para e para é dada por:
Onde e são as matrizes das bases fornecidas, e é a matriz que define na base canônica. Substituindo e calculando conforme os passos acima, obtemos a matriz desejada.

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas lineares pelo método da substituição:
Sejam e .
Determine e .
Resolva os sistemas lineares pelo método de Cramer:
Determine os valores de e que tornam verdadeira a igualdade