Considere as transformações lineares T: R^3 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^2 dadas por T(1,0,1)=(cc1 & 0 0 & -1), T(1,1,0)=(cc2 & -1 0 & -1), T(1,0,0)=(cc1 & -1 0 & 0) e
[S]gamma^beta=(cccc 2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1 )
Sejam alpha=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,1),(1,2) (base do R^2).
Determine S(lla & b c & d).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! Temos duas transformações lineares: a & b c & d que vai de para e que vai de para . O objetivo aqui é descobrir como a transformação age em uma matriz qualquer . Para isso, vamos precisar entender como representar essa matriz na base canônica e aplicar a matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que [S]gamma^beta = 2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1 é representada pela matriz :
Aqui, é a base canônica de , ou seja, cada elemento da base corresponde a uma das entradas da matriz 2x2.

Passo 3

Para aplicar a & b c & d a uma matriz a b c d , precisamos primeiro representar essa matriz como um vetor na base canônica . Na base canônica, a matriz é representada pelo vetor:
Isso porque estamos “desdobrando” a matriz 2x2 em um vetor de .

Passo 4

Agora, para encontrar a & b c & d , basta multiplicar a matriz [S]gamma^beta cdot a b c d = 2a + 2b - c - d - a - b + c + d pelo vetor que representa nossa matriz:
Essa é a aplicação direta da transformação linear usando a matriz que a representa.

Resposta

S( a & b c & d ) = 2a + 2b - c - d - a - b + c + d

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