Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! Temos duas transformações lineares: que vai de para e que vai de para . O objetivo aqui é descobrir como a transformação age em uma matriz qualquer . Para isso, vamos precisar entender como representar essa matriz na base canônica e aplicar a matriz que representa .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é representada pela matriz :
Aqui, é a base canônica de , ou seja, cada elemento da base corresponde a uma das entradas da matriz 2x2.
Passo 3
Para aplicar a uma matriz , precisamos primeiro representar essa matriz como um vetor na base canônica . Na base canônica, a matriz é representada pelo vetor:
Isso porque estamos “desdobrando” a matriz 2x2 em um vetor de .
Passo 4
Agora, para encontrar a & b c & d , basta multiplicar a matriz [S]gamma^beta cdot a b c d = 2a + 2b - c - d - a - b + c + d pelo vetor que representa nossa matriz:
Essa é a aplicação direta da transformação linear usando a matriz que a representa.
Resposta
S( a & b c & d ) = 2a + 2b - c - d - a - b + c + d