Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! Temos duas transformações lineares: que vai de para e que vai de para . O objetivo aqui é descobrir como a transformação age em uma matriz qualquer . Para isso, vamos precisar entender como representar essa matriz na base canônica e aplicar a matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é representada pela matriz :
Aqui, é a base canônica de , ou seja, cada elemento da base corresponde a uma das entradas da matriz 2x2.

Passo 3

Para aplicar a uma matriz , precisamos primeiro representar essa matriz como um vetor na base canônica . Na base canônica, a matriz é representada pelo vetor:
Isso porque estamos “desdobrando” a matriz 2x2 em um vetor de .

Passo 4

Agora, para encontrar , basta multiplicar a matriz pelo vetor que representa nossa matriz:
Essa é a aplicação direta da transformação linear usando a matriz que a representa.

Resposta

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Considere os conjuntos
e
(a) Descreva o conjunto S em quatro palavras.
Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( $\mathrm{x}, \mathrm{x}, ···, \mathrm{x} ) com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar em .
Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(b) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D})
Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as matrizes da forma com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.