Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( $\mathrm{x}, \mathrm{x}, ···, \mathrm{x} ) com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar em
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de todas as tuplas de números reais da forma
em
, ou seja, vetores onde ambas as componentes são iguais, forma um espaço vetorial quando usamos as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles são cumpridos nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos definir claramente nosso conjunto e as operações:
-
Conjunto: Todos os vetores da forma
, onde é um número real. -
Adição padrão:
-
Multiplicação por escalar padrão:
Passo 3
Agora, vamos relembrar os axiomas de espaço vetorial. São oito propriedades que precisam ser verdadeiras para um conjunto com essas operações ser considerado um espaço vetorial:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
- Distributividade em relação à adição vetorial:
- Distributividade em relação à adição escalar:
- Multiplicação por 1:
Passo 4
Vamos verificar cada axioma para o nosso conjunto:
-
Comutatividade da adição:
Satisfeito -
Associatividade da adição:
Satisfeito -
Elemento neutro da adição:
O vetoratua como o neutro, pois
Satisfeito -
Elemento inverso da adição:
Para cada, existe tal que
Satisfeito -
Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Satisfeito -
Distributividade em relação à adição vetorial:
Satisfeito -
Distributividade em relação à adição escalar:
Satisfeito -
Multiplicação por 1:
Satisfeito
Resposta
Sim, o conjunto de todas as tuplas
em
, com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois todos os axiomas necessários são atendidos.