Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( $\mathrm{x}, \mathrm{x}, ···, \mathrm{x} ) com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar em x, x, ldots, x ) com as operações padrão de adição e mu.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de todas as tuplas de números reais da forma (x, x) em R^2, ou seja, vetores onde ambas as componentes são iguais, forma um espaço vetorial quando usamos as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles são cumpridos nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir claramente nosso conjunto e as operações:
  • Conjunto: Todos os vetores da forma (x, x), onde x é um número real.
  • Adição padrão: (x, x) + (y, y) = (x + y, x + y)
  • Multiplicação por escalar padrão: a cdot (x, x) = (a x, a x)

Passo 3

Agora, vamos relembrar os axiomas de espaço vetorial. São oito propriedades que precisam ser verdadeiras para um conjunto com essas operações ser considerado um espaço vetorial:
  1. Comutatividade da adição: (u + v) = (v + u)
  2. Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor u, existe um vetor -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v
  6. Distributividade em relação à adição vetorial: (a + b) cdot u = a cdot u + b cdot u
  7. Distributividade em relação à adição escalar: a cdot (b cdot u) = (a b) cdot u
  8. Multiplicação por 1: 1 cdot u = u

Passo 4

Vamos verificar cada axioma para o nosso conjunto:
  1. Comutatividade da adição:
    (x, x) + (y, y) = (x + y, x + y) = (y + x, y + x) = (y, y) + (x, x)
    Satisfeito
  2. Associatividade da adição:
    [(x, x) + (y, y)] + (z, z) = (x + y, x + y) + (z, z) = (x + y + z, x + y + z)
    (x, x) + [(y, y) + (z, z)] = (x, x) + (y + z, y + z) = (x + y + z, x + y + z)
    Satisfeito
  3. Elemento neutro da adição:
    O vetor (0, 0) atua como o neutro, pois (x, x) + (0, 0) = (x + 0, x + 0) = (x, x)
    Satisfeito
  4. Elemento inverso da adição:
    Para cada (x, x), existe (-x, -x) tal que (x, x) + (-x, -x) = (0, 0)
    Satisfeito
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
    a cdot [(x, x) + (y, y)] = a cdot (x + y, x + y) = (a(x + y), a(x + y)) = (a x + a y, a x + a y) = (a x, a x) + (a y, a y)
    Satisfeito
  6. Distributividade em relação à adição vetorial:
    (a + b) cdot (x, x) = ((a + b) x, (a + b) x) = (a x + b x, a x + b x) = (a x, a x) + (b x, b x)
    Satisfeito
  7. Distributividade em relação à adição escalar:
    a cdot (b cdot (x, x)) = a cdot (b x, b x) = (a b x, a b x) = (a b) cdot (x, x)
    Satisfeito
  8. Multiplicação por 1:
    1 cdot (x, x) = (1 x, 1 x) = (x, x)
    Satisfeito

Resposta

Sim, o conjunto de todas as tuplas (x, x) em R^2, com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois todos os axiomas necessários são atendidos.

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