Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as ênuplas de números reais da forma ( $\mathrm{x}, \mathrm{x}, ···, \mathrm{x} ) com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar em .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto de todas as tuplas de números reais da forma em , ou seja, vetores onde ambas as componentes são iguais, forma um espaço vetorial quando usamos as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e ver se eles são cumpridos nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir claramente nosso conjunto e as operações:
  • Conjunto: Todos os vetores da forma , onde é um número real.
  • Adição padrão:
  • Multiplicação por escalar padrão:

Passo 3

Agora, vamos relembrar os axiomas de espaço vetorial. São oito propriedades que precisam ser verdadeiras para um conjunto com essas operações ser considerado um espaço vetorial:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
  6. Distributividade em relação à adição vetorial:
  7. Distributividade em relação à adição escalar:
  8. Multiplicação por 1:

Passo 4

Vamos verificar cada axioma para o nosso conjunto:
  1. Comutatividade da adição:

    Satisfeito
  2. Associatividade da adição:


    Satisfeito
  3. Elemento neutro da adição:
    O vetor atua como o neutro, pois
    Satisfeito
  4. Elemento inverso da adição:
    Para cada , existe tal que
    Satisfeito
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar:

    Satisfeito
  6. Distributividade em relação à adição vetorial:

    Satisfeito
  7. Distributividade em relação à adição escalar:

    Satisfeito
  8. Multiplicação por 1:

    Satisfeito

Resposta

Sim, o conjunto de todas as tuplas em , com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial, pois todos os axiomas necessários são atendidos.

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