Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por como ela age em três vetores de uma base de . Precisamos determinar as dimensões do núcleo (ou kernel) e da imagem (ou imagem) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, rank (posto) e o Teorema da Dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Sabendo que tem dimensão 4 (já que cada matriz 2x2 tem 4 entradas), podemos pensar em como uma matriz , onde cada coluna representa a imagem dos vetores da base .
As imagens dos vetores da base são dadas por:
Vamos transformar essas matrizes em vetores coluna, lendo as entradas por linhas:
Assim, a matriz de fica assim:
Passo 3
Agora, vamos determinar o posto (rank) dessa matriz, que corresponde à dimensão da imagem de 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 . Para isso, vamos realizar operações elementares de linha para simplificar a matriz:
Primeira operação: Adicionar a primeira linha à quarta linha para eliminar o -1 no final.
1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Segunda operação: Somar a segunda linha à quarta linha para simplificar ainda mais.
Agora, a matriz está na forma escalonada. Podemos ver que há 2 linhas não nulas, então o rank da matriz é 2.
Passo 4
Com o rank encontrado, podemos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
Dim(V) = Rank(T) + Dim(Ker(T))
No nosso caso, 3 = 2 + Dim(Ker(T)) , então:
Dim(Ker(T)) = 3 - 2 = 1
Resolvendo para :
Resposta
A dimensão do núcleo de é 1 e a dimensão da imagem de é 2.