Considere as transformações lineares T: R^3 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^2 dadas por T(1,0,1)=(cc1 & 0 0 & -1), T(1,1,0)=(cc2 & -1 0 & -1), T(1,0,0)=(cc1 & -1 0 & 0) e
[S]gamma^beta=(cccc 2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1 )
Sejam alpha=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,1),(1,2) (base do R^2).
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por como ela age em três vetores de uma base de . Precisamos determinar as dimensões do núcleo (ou kernel) e da imagem (ou imagem) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, rank (posto) e o Teorema da Dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(1,0,1) = 1 & 0 0 & -1, T(1,1,0) = 2 & -1 0 & -1, T(1,0,0) = 1 & -1 0 & 0 como uma matriz. Sabendo que T(1,0,1) 1 0 0 -1, T(1,1,0) 2 -1 0 -1, T(1,0,0) 1 -1 0 0 tem dimensão 4 (já que cada matriz 2x2 tem 4 entradas), podemos pensar em [T] = 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 como uma matriz , onde cada coluna representa a imagem dos vetores da base .
As imagens dos vetores da base são dadas por:
Vamos transformar essas matrizes em vetores coluna, lendo as entradas por linhas:
Assim, a matriz de fica assim:

Passo 3

Agora, vamos determinar o posto (rank) dessa matriz, que corresponde à dimensão da imagem de 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 . Para isso, vamos realizar operações elementares de linha para simplificar a matriz:
  1. Primeira operação: Adicionar a primeira linha à quarta linha para eliminar o -1 no final.
1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
  1. Segunda operação: Somar a segunda linha à quarta linha para simplificar ainda mais.
Agora, a matriz está na forma escalonada. Podemos ver que há 2 linhas não nulas, então o rank da matriz é 2.

Passo 4

Com o rank encontrado, podemos usar o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
Dim(V) = Rank(T) + Dim(Ker(T))
No nosso caso, 3 = 2 + Dim(Ker(T)) , então:
Dim(Ker(T)) = 3 - 2 = 1
Resolvendo para :

Resposta

A dimensão do núcleo de é 1 e a dimensão da imagem de é 2.

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