Seja A=(lll2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 0 & 1 & 3). Encontre todos os valores de lambda para os quais det(A-lambda I3)=0. Compare com o Exercício 9 da Lista 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 0 & 1 & 3 e precisamos encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Esse processo faz parte do estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que tornam esse determinante igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . Aqui, lambda I3 = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda é a matriz identidade 3x3, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
A - lambda I3 = 2 - lambda & 0 & 0 2 & 1 - lambda & 3 0 & 1 & 3 - lambda
Então, multiplicando por :
Agora, subtraímos essa matriz de :

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o determinante dessa matriz a & b & c d & e & f g & h & i . O determinante de uma matriz 3x3 det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é dado por:
det(A - lambda I3) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(3 - lambda) - 3 cdot 1] - 0 cdot () + 0 cdot ()
Aplicando isso à nossa matriz det(A - lambda I3) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(3 - lambda) - 3] :
[
\det(A - \lambda I_3) = (2 - \lambda)\left[(1 - \lambda)(3 - \lambda) - 3 \cdot 1\right] - 0 \cdot (...) + 0 \cdot (...)
]
Note que os termos com 0 desaparecem, então simplificamos para:

Passo 4

Vamos calcular o que está dentro dos colchetes:
(1 - lambda)(3 - lambda) = 1 cdot 3 - 1 cdot lambda - lambda cdot 3 + lambda^2 = 3 - lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 4lambda + 3
Então:
(1 - lambda)(3 - lambda) - 3 = (lambda^2 - 4lambda + 3) - 3 = lambda^2 - 4lambda

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I3) = (2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda) = (2 - lambda)lambda(lambda - 4)

Passo 6

Agora, temos a equação característica:
(2 - lambda)lambda(lambda - 4) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:

Resposta

Os valores de lambda = 0, lambda = 2, lambda = 4 que satisfazem são:

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