Seja . Encontre todos os valores de para os quais . Compare com o Exercício 9 da Lista 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Esse processo faz parte do estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que tornam esse determinante igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Aqui, é a matriz identidade 3x3, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Então, multiplicando por :
Agora, subtraímos essa matriz de :

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz :
[
\det(A - \lambda I_3) = (2 - \lambda)\left[(1 - \lambda)(3 - \lambda) - 3 \cdot 1\right] - 0 \cdot (...) + 0 \cdot (...)
]
Note que os termos com 0 desaparecem, então simplificamos para:

Passo 4

Vamos calcular o que está dentro dos colchetes:
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:

Passo 6

Agora, temos a equação característica:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:

Resposta

Os valores de que satisfazem são:

Exercícios relacionados

Encontre uma matriz quadrada A, não diagonal, tal que . Dica: compare com o Exercício 1 da Lista 1.
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(b) Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
Sejam e . Calcule . Obs: denota a transposta da matriz .
Encontre todas as matrizes da forma , com , e números reais, tais que .