Encontre uma matriz quadrada A, não diagonal, tal que A=A^-1. Dica: compare com o Exercício 1 da Lista 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma matriz quadrada , que não seja diagonal, tal que . Isso significa que a matriz é igual à sua própria inversa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre matrizes inversas e como identificar propriedades que satisfaçam essa condição.

Passo 2

Sabemos que se A cdot A = I é a inversa de si mesma, então multiplicando por devemos obter a matriz identidade . Matematicamente, isso é representado por:
A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.

Passo 3

Vamos considerar uma matriz quadrada A = a & b c & d genérica que não seja diagonal. Suponha que:
A cdot A = a & b c & d cdot a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & b c + d^2
Queremos que , então vamos multiplicar por si mesma:

Passo 4

Igualando a^2 + b c = 1 a b + b d = 0 c a + d c = 0 b c + d^2 = 1 à matriz identidade , temos o seguinte sistema de equações:
Para simplificar, vamos tentar achar valores que satisfaçam essas equações. Uma estratégia é definir alguns elementos da matriz e resolver para os demais.

Passo 5

Vamos supor que 0 + b c = 1 Rightarrow b c = 1 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 b c + 0 = 1 Rightarrow b c = 1 . Com isso, as equações ficam:
Dessa forma, temos que . Podemos escolher valores simples para e que satisfaçam essa condição. Por exemplo, vamos definir e .

Passo 6

Com esses valores, a matriz A = 0 & 1 1 & 0 fica:
0 & 1 1 & 0 cdot 0 & 1 1 & 0 = (0 cdot 0) + (1 cdot 1) & (0 cdot 1) + (1 cdot 0) (1 cdot 0) + (0 cdot 1) & (1 cdot 1) + (0 cdot 0) = 1 & 0 0 & 1 = I
Vamos verificar se realmente :
Está tudo certo!

Resposta

A matriz quadrada não diagonal que satisfaz A = 0 & 1 1 & 0 é:

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