Encontre uma matriz quadrada A, não diagonal, tal que . Dica: compare com o Exercício 1 da Lista 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma matriz quadrada , que não seja diagonal, tal que . Isso significa que a matriz é igual à sua própria inversa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre matrizes inversas e como identificar propriedades que satisfaçam essa condição.

Passo 2

Sabemos que se é a inversa de si mesma, então multiplicando por devemos obter a matriz identidade . Matematicamente, isso é representado por:
A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.

Passo 3

Vamos considerar uma matriz quadrada genérica que não seja diagonal. Suponha que:
Queremos que , então vamos multiplicar por si mesma:

Passo 4

Igualando à matriz identidade , temos o seguinte sistema de equações:
Para simplificar, vamos tentar achar valores que satisfaçam essas equações. Uma estratégia é definir alguns elementos da matriz e resolver para os demais.

Passo 5

Vamos supor que . Com isso, as equações ficam:
Dessa forma, temos que . Podemos escolher valores simples para e que satisfaçam essa condição. Por exemplo, vamos definir e .

Passo 6

Com esses valores, a matriz fica:
Vamos verificar se realmente :
Está tudo certo!

Resposta

A matriz quadrada não diagonal que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(b) Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
Seja uma matriz e suponha que seja uma solução do sistema linear . Determine se é invertível.
Seja . Encontre todos os valores de para os quais . Compare com o Exercício 9 da Lista 1.
Sejam e . Calcule . Obs: denota a transposta da matriz .