Encontre uma matriz quadrada A, não diagonal, tal que . Dica: compare com o Exercício 1 da Lista 1.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma matriz quadrada , que não seja diagonal, tal que . Isso significa que a matriz é igual à sua própria inversa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre matrizes inversas e como identificar propriedades que satisfaçam essa condição.
Passo 2
Sabemos que se é a inversa de si mesma, então multiplicando por devemos obter a matriz identidade. Matematicamente, isso é representado por:
A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.
Passo 3
Vamos considerar uma matriz quadrada genérica que não seja diagonal. Suponha que:
Queremos que , então vamos multiplicar por si mesma:
Passo 4
Igualando à matriz identidade , temos o seguinte sistema de equações:
Para simplificar, vamos tentar achar valores que satisfaçam essas equações. Uma estratégia é definir alguns elementos da matriz e resolver para os demais.
Passo 5
Vamos supor que . Com isso, as equações ficam:
Dessa forma, temos que . Podemos escolher valores simples para e que satisfaçam essa condição. Por exemplo, vamos definir e .