Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto O^prime=(-1,2).
(a) Escreva a equação da reta y=x+3 no sistema transladado. (use coordenadas (u, v)).
(b) Escreva a equação da cônica y^2+x^2-4 y+2 x-4=0 nas coordenadas (u, v). Identifique esta cônica.
© Escreva a equação da cônica -3 y^2+2 x^2+12 y+4 x-16=0 nas coordenadas (u, v). Identifique esta cônica.
(d) Faça um esboço das curvas dos itens (a), (b) e © juntamente com os dois sistemas de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício sobre translação de sistemas de coordenadas. O enunciado fala sobre mudar o sistema de coordenadas para o ponto e depois trabalhar com equações de retas e cônicas nesse novo sistema usando as coordenadas . Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer a translação de coordenadas e aplicar isso nas equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa transladar o sistema de coordenadas para o ponto x = u + h y = v + k . Translação é um tipo de transformação geométrica que move todos os pontos de uma figura ou de um sistema de coordenadas de uma certa distância em uma direção específica. No nosso caso, estamos movendo a origem do sistema para o ponto x = u - 1 y = v + 2 .
Matematicamente, a relação entre as coordenadas originais e as novas coordenadas após a translação é dada por:
onde são as coordenadas do ponto para onde estamos transladando, que neste caso são .
Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (a) do exercício: escrever a equação da reta y = x + 3 v + 2 = (u - 1) + 3 no sistema transladado v + 2 = u + 2 v = u .
Primeiro, substituímos e pelas expressões em termos de e :
Simplificando a equação:
Então, a equação da reta no sistema transladado é .

Passo 4

Vamos para a parte (b): escrever a equação da cônica (y)^2 + (x)^2 - 4y + 2x - 4 = 0 (v + 2)^2 + (u - 1)^2 - 4(v + 2) + 2(u - 1) - 4 = 0 nas coordenadas v^2 + 4v + 4 + u^2 - 2u + 1 - 4v - 8 + 2u - 2 - 4 = 0 v^2 + u^2 - 5 = 0 u^2 + v^2 = 5 e identificar a cônica.
Primeiro, substituímos e pelas expressões em termos de e :
Vamos expandir e simplificar:
A equação representa um círculo com centro na origem do sistema transladado e raio .

Passo 5

Agora, a parte ©: escrever a equação da cônica -3(v + 2)^2 + 2(u - 1)^2 + 12(v + 2) + 4(u - 1) - 16 = 0 nas coordenadas -3(v^2 + 4v + 4) + 2(u^2 - 2u + 1) + 12v + 24 + 4u - 4 - 16 = 0 -3v^2 - 12v - 12 + 2u^2 - 4u + 2 + 12v + 24 + 4u - 4 - 16 = 0 -3v^2 + 2u^2 - 6 = 0 2u^2 - 3v^2 = 6 u^23 - v^22 = 1 e identificar a cônica.
Primeiro, substituímos e pelas expressões em termos de e :
Vamos expandir e simplificar:
Essa é a equação de uma hipérbole com centro na origem do sistema transladado.

Passo 6

Por fim, a parte (d): fazer um esboço das curvas dos itens (a), (b) e © juntamente com os dois sistemas de coordenadas.
Como não posso desenhar aqui, vou descrever como seriam os esboços:
  1. Sistema Original: Com a origem e a reta , e as cônicas originais.
  2. Sistema Transladado: Com a nova origem e as curvas transformadas:
    • A reta , que passa pela origem do novo sistema.
    • O círculo .
    • A hipérbole .
No esboço, você colocaria os dois sistemas de coordenadas para visualizar como as curvas se relacionam em cada um.

Resposta

Finalizamos a translação das equações para o sistema :
(a) A equação da reta no sistema transladado é .
(b) A equação da cônica no sistema transladado é , que é um círculo de raio .
© A equação da cônica no sistema transladado é , que é uma hipérbole.
(d) Os esboços das curvas mostram as posições relativas das figuras no sistema original e no sistema transladado.

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