Mostre que as equações
descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as equações
descrevem uma reta. Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com a forma simétrica das equações de uma reta no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar identificar um ponto que pertence à reta e um vetor diretor que indica a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma das equações dadas. Elas estão todas iguais a algum parâmetro, digamos
:
Isso nos ajuda a expressar
,
e
em termos de
.
Passo 3
Resolva cada uma das equações para
,
e
:
Passo 4
Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta usando
como parâmetro:
Isso mostra claramente como
,
e
variam conforme
varia.
Passo 5
Para escrever na forma simétrica, resolvemos cada equação para
:
Igualando todas as expressões a
, obtemos a forma simétrica:
Essa é exatamente a forma dada, confirmando que estamos trabalhando com uma reta.
Passo 6
Para identificar um ponto na reta, escolhemos um valor conveniente para
, por exemplo,
:
Então, o ponto é
.
Passo 7
O vetor diretor da reta é formado pelos coeficientes de
nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta está se movendo no espaço.
Resposta
As equações
descrevem uma reta na forma simétrica. Um ponto da reta é
e o vetor diretor é
.
Exercícios relacionados
Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto
.
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas
).
(b) Escreva a equação da cônica nas coordenadas
. Identifique esta cônica.
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas
. Identifique esta cônica.
(d) Faça um esboço das curvas dos itens (a), (b) e © juntamente com os dois sistemas de coordenadas.
(a) Escreva a equação da reta
(b) Escreva a equação da cônica
© Escreva a equação da cônica
(d) Faça um esboço das curvas dos itens (a), (b) e © juntamente com os dois sistemas de coordenadas.
Desenhe o segmento
de extremidade nos pontos
e
com sentido de percurso de
para
e determine sua equação.
Dê um exemplo de duas matrizes
e
de mesmo tamanho tais que
Sejam
e
. Obtenha os pontos de
que distam
de
. Em seguida, verifique se a distância do ponto
á reta
é maior, menor ou igual a
e justifique sua resposta.