Mostre que as equações 2 x-13=1-y2=z+1 descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as equações descrevem uma reta. Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com a forma simétrica das equações de uma reta no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar identificar um ponto que pertence à reta e um vetor diretor que indica a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma das equações dadas. Elas estão todas iguais a algum parâmetro, digamos 2x - 13 = lambda, 1 - y2 = lambda, z + 1 = lambda :
Isso nos ajuda a expressar , e em termos de .

Passo 3

Resolva cada uma das equações para 2x - 13 = lambda implies 2x - 1 = 3lambda implies x = 3lambda + 12 , 1 - y2 = lambda implies 1 - y = 2lambda implies y = 1 - 2lambda e z + 1 = lambda implies z = lambda - 1 :

Passo 4

Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta usando x = 32lambda + 12, y = -2lambda + 1, z = lambda - 1 como parâmetro:
Isso mostra claramente como , e variam conforme varia.

Passo 5

Para escrever na forma simétrica, resolvemos cada equação para lambda = 2x - 13, lambda = 1 - y2, lambda = z + 1 :
2x - 13 = 1 - y2 = z + 1
Igualando todas as expressões a , obtemos a forma simétrica:
Essa é exatamente a forma dada, confirmando que estamos trabalhando com uma reta.

Passo 6

Para identificar um ponto na reta, escolhemos um valor conveniente para x = 12, y = 1, z = -1 , por exemplo, :
Então, o ponto é .

Passo 7

O vetor diretor da reta é formado pelos coeficientes de d = (32, -2, 1) nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta está se movendo no espaço.

Resposta

As equações descrevem uma reta na forma simétrica. Um ponto da reta é e o vetor diretor é .

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