Mostre que as equações descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que as equações descrevem uma reta. Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com a forma simétrica das equações de uma reta no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar identificar um ponto que pertence à reta e um vetor diretor que indica a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma das equações dadas. Elas estão todas iguais a algum parâmetro, digamos :
Isso nos ajuda a expressar , e em termos de .

Passo 3

Resolva cada uma das equações para , e :

Passo 4

Agora, podemos escrever as equações paramétricas da reta usando como parâmetro:
Isso mostra claramente como , e variam conforme varia.

Passo 5

Para escrever na forma simétrica, resolvemos cada equação para :
Igualando todas as expressões a , obtemos a forma simétrica:
Essa é exatamente a forma dada, confirmando que estamos trabalhando com uma reta.

Passo 6

Para identificar um ponto na reta, escolhemos um valor conveniente para , por exemplo, :
Então, o ponto é .

Passo 7

O vetor diretor da reta é formado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:
Esse vetor indica a direção em que a reta está se movendo no espaço.

Resposta

As equações descrevem uma reta na forma simétrica. Um ponto da reta é e o vetor diretor é .

Exercícios relacionados

Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto .
(a) Escreva a equação da reta no sistema transladado. (use coordenadas ).
(b) Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
© Escreva a equação da cônica nas coordenadas . Identifique esta cônica.
(d) Faça um esboço das curvas dos itens (a), (b) e © juntamente com os dois sistemas de coordenadas.
Desenhe o segmento de extremidade nos pontos e com sentido de percurso de para e determine sua equação.
Dê um exemplo de duas matrizes e de mesmo tamanho tais que
Sejam e . Obtenha os pontos de que distam de . Em seguida, verifique se a distância do ponto á reta é maior, menor ou igual a e justifique sua resposta.