Desenhe a curva fechada gamma cuja imagem é o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,1), orientada no sentido anti-horário, e determine suas equações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para desenharmos uma curva fechada, representando um triângulo com os vértices nos pontos , e , orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos trabalhar com parametrizações de segmentos de reta que formam esse triângulo. Precisaremos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a parametrização de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos traçar o segmento de x(t) = t, y(t) = 0, com t in [0,1] para . Esses pontos são e . Como o é constante (ambos têm ), a equação desse segmento é simples. Podemos parametrizar esse segmento usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
Isso significa que, quando , estamos em , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, vamos para o segmento de x(t) = 1, y(t) = t, com t in [0,1] para . Os pontos são e . Aqui, o é constante ( ), e o varia de 0 a 1. A parametrização desse segmento fica assim:
Novamente, quando , estamos em , e quando , chegamos em .

Passo 4

Por fim, vamos determinar o segmento de x(t) = 1 - t, y(t) = 1 - t, com t in [0,1] para . Os pontos são e . Nesse caso, tanto quanto variam de 1 a 0 simultaneamente. A parametrização será:
Quando , estamos em , e quando , voltamos para .

Resposta

A curva fechada x(t) = t, y(t) = 0, t in [0,1] que representa o triângulo com vértices em x(t) = 1, y(t) = t, t in [0,1] , x(t) = 1 - t, y(t) = 1 - t, t in [0,1] e , orientada no sentido anti-horário, é composta por três segmentos de reta com as seguintes parametrizações:
  1. De a :
  1. De a :
  1. De a :
Essas parametrizações juntas formam a curva fechada desejada.

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