Considere a translação do sistema de coordenadas para o ponto O^prime=(2,3).
(a) Escreva a equação da reta y=x+1 no sistema transladado. (use coordenadas (u, v)).
(b) Faça um esboço da reta dada no item (a) juntamente com os dois sistemas de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma translação do sistema de coordenadas para o ponto . Isso significa que o novo sistema vai estar deslocado 2 unidades no eixo x e 3 no eixo y comparado ao sistema original. A matéria envolvida aqui é Transformação de Coordenadas, especificamente translações. Vamos precisar aplicar as fórmulas de translação para mudar a equação da reta dada para o novo sistema de coordenadas .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a translação das coordenadas. Quando a gente translada o sistema para u = x - a , as novas coordenadas v = y - b estão relacionadas às antigas u = x - 2 pelas fórmulas:
v = y - 3
No nosso caso, e , então:

Passo 3

Agora, temos a equação da reta no sistema original:
y = x + 1
A gente quer reescrever essa equação em termos de y = x + 1 Rightarrow v + 3 = (u + 2) + 1 e . Para isso, vamos substituir e pelas expressões em e que encontramos:
Explicando: substituímos por e por .

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
v + 3 = u + 3
Agora, subtraindo 3 de ambos os lados:
v = u
Pronto! Essa é a equação da reta no sistema transladado.

Resposta

A equação da reta v = u no sistema transladado é:

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