Considere um trapézio isósceles de área
. Sabendo que
é um dos ângulos da base, determine a medida da lateral
para que o perímetro seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que que a questão tá pedindo. Temos um trapézio isósceles com área de
. Sabemos que um dos ângulos da base é
. Queremos descobrir o comprimento da lateral
que faz o perímetro desse trapézio ser o menor possível.
Aqui, vamos precisar usar fórmulas de área e perímetro de trapézios, além de trigonometria básica para lidar com os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um trapézio. A fórmula é:
Onde:
-
e são as bases maior e menor, respectivamente. -
é a altura do trapézio.
Como o trapézio é isósceles, as laterais são iguais e os ângulos da base também são iguais.
Passo 3
Sabemos que a área é
e um dos ângulos da base é
. Vamos chamar a base maior de
e a base menor de
. Então, podemos escrever:
Vamos isolar a altura
:
Passo 4
Agora, vamos relacionar a altura
com a lateral
e o ângulo de
. Em um trapézio isósceles, a altura pode ser expressa em termos da lateral e do ângulo da base usando a função seno:
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Vamos substituir
na equação da área:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o perímetro
do trapézio, que é a soma de todos os lados:
Substituindo
:
Passo 7
Queremos minimizar o perímetro
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e encontrar o valor de
que faz a derivada igual a zero.
Primeiro, escrevemos a função:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 8
Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Resolvendo para
:
Resposta
A medida da lateral
que minimiza o perímetro do trapézio é
.
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