Considere um trapézio isósceles de área 50 cm^2. Sabendo que alpha = 30 graus é um dos ângulos da base, determine a medida da lateral l para que o perímetro seja mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que que a questão tá pedindo. Temos um trapézio isósceles com área de ². Sabemos que um dos ângulos da base é . Queremos descobrir o comprimento da lateral l que faz o perímetro desse trapézio ser o menor possível.
Aqui, vamos precisar usar fórmulas de área e perímetro de trapézios, além de trigonometria básica para lidar com os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um trapézio. A fórmula é:
Á
Onde:
  • B e b são as bases maior e menor, respectivamente.
  • h é a altura do trapézio.
Como o trapézio é isósceles, as laterais são iguais e os ângulos da base também são iguais.

Passo 3

Sabemos que a área é ² e um dos ângulos da base é . Vamos chamar a base maior de B e a base menor de b. Então, podemos escrever:
Vamos isolar a altura h:

Passo 4

Agora, vamos relacionar a altura h com a lateral l e o ângulo de . Em um trapézio isósceles, a altura pode ser expressa em termos da lateral e do ângulo da base usando a função seno:
Sabendo que , temos:

Passo 5

Vamos substituir h na equação da área:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos calcular o perímetro P do trapézio, que é a soma de todos os lados:
Substituindo :

Passo 7

Queremos minimizar o perímetro P. Para isso, vamos derivar P em relação a l e encontrar o valor de l que faz a derivada igual a zero.
Primeiro, escrevemos a função:
Agora, derivamos P em relação a l:

Passo 8

Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Resolvendo para l:

Resposta

A medida da lateral l que minimiza o perímetro do trapézio é .

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