Considere três números reais x, y e z tais que x + y + z = 16 e 2/x + 2/y + 2/z + x/(y*z) + y/(x*z) + z/(x*y) = 4/5 Calcule o produto x y z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três números reais , e que satisfazem as equações:
Nosso objetivo é encontrar o valor do produto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra relacionados a somas e produtos de variáveis.

Passo 2

Vamos começar simplificando a segunda equação. Observamos que:
E:
Sabemos que . Vamos chamar essa soma de , ou seja, .
Também sabemos que:
Vamos chamar de .
Portanto:
Agora, substituindo na segunda parte da equação:

Passo 3

Voltando à segunda equação original, temos:
Sabemos que:
Substituindo isso na equação, ficamos com:
Podemos somar os termos no numerador:

Passo 4

Agora, temos a equação:
Para encontrar , podemos resolver para essa variável cruzando os termos:
Dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

O produto é igual a 320.

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