Considere três partículas cujas coordenadas e massas estão na tabela. Determine a energia potencial gravitacional de uma esfera de
localizada na origem.
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20,00 | 0,5000 | 1,000 |
40,00 |
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1,000 |
60,00 | 0 |
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três partículas com diferentes massas e posições, e queremos descobrir a energia potencial gravitacional de uma esfera de
que está na origem (ponto
). Para isso, vamos precisar usar a fórmula da energia potencial gravitacional e calcular a contribuição de cada uma das outras partículas para essa energia total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas. A fórmula é:
Onde:
-
é a energia potencial gravitacional. -
é a constante gravitacional ( ). -
e são as massas das duas partículas. -
é a distância entre elas.
Passo 3
Vamos identificar as massas e as posições das partículas:
- Primeira partícula:
, posição . - Segunda partícula:
, posição . - Terceira partícula:
, posição . - A esfera na origem:
, posição .
Passo 4
Vamos calcular a distância (
) entre a esfera na origem e cada uma das outras partículas usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Para cada partícula:
-
Primeira partícula:
- Coordenadas da esfera:
- Coordenadas da partícula:
- Distância:
- Coordenadas da esfera:
-
Segunda partícula:
- Coordenadas da partícula:
- Distância:
- Coordenadas da partícula:
-
Terceira partícula:
- Coordenadas da partícula:
- Distância:
- Coordenadas da partícula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional entre a esfera e cada partícula usando a fórmula que vimos:
Onde
é a massa da esfera, e
é a massa da partícula. Vamos calcular cada uma:
-
Energia potencial com a primeira partícula (
): -
Energia potencial com a segunda partícula (
): -
Energia potencial com a terceira partícula (
):
Passo 6
Finalmente, vamos somar todas as energias potenciais para encontrar a energia potencial gravitacional total da esfera:
Como
é muito maior em magnitude, o total será aproximadamente:
Resposta
A energia potencial gravitacional total da esfera de
localizada na origem é aproximadamente
.