Considere três partículas cujas coordenadas e massas estão na tabela. Determine a energia potencial gravitacional de uma esfera de 20,00 kg localizada na origem.
m(kg) x(m) y(m)
20,00 0,5000 1,000
40,00 -1,000 1,000
60,00 0 -0,5000

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três partículas com diferentes massas e posições, e queremos descobrir a energia potencial gravitacional de uma esfera de 20,00 kg que está na origem (ponto (0,0)). Para isso, vamos precisar usar a fórmula da energia potencial gravitacional e calcular a contribuição de cada uma das outras partículas para essa energia total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas. A fórmula é:
U = -G m1 m2r
Onde:
  • U é a energia potencial gravitacional.
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , N,m^2/kg^2).
  • m1 e m2 são as massas das duas partículas.
  • r é a distância entre elas.

Passo 3

Vamos identificar as massas e as posições das partículas:
  1. Primeira partícula: m1 = 20,00 kg, posição (0,5000 m, 1,000 m).
  2. Segunda partícula: m2 = 40,00 kg, posição (-1,000 m, 1,000 m).
  3. Terceira partícula: m3 = 60,00 kg, posição (0 m, -0,5000 m).
  4. A esfera na origem: m = 20,00 kg, posição (0,0).

Passo 4

Vamos calcular a distância ( r) entre a esfera na origem e cada uma das outras partículas usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
r = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Para cada partícula:
  1. Primeira partícula:
    • Coordenadas da esfera: (0,0)
    • Coordenadas da partícula: (0,5000, 1,000)
    • Distância: r1 = raiz(0 - 0)^2 + (5000 - 0)^2 + (1000 - 0)^2 = raiz0 + 25,000,000 + 1,000,000 = raiz26,000,000 approx 5099 m
  2. Segunda partícula:
    • Coordenadas da partícula: (-1,000, 1,000)
    • Distância: r2 = raiz(-1000 - 0)^2 + (1000 - 0)^2 = raiz1,000,000 + 1,000,000 = raiz2,000,000 approx 1414,21 m
  3. Terceira partícula:
    • Coordenadas da partícula: (0, -0,5000)
    • Distância: r3 = raiz(0 - 0)^2 + (-0,5000 - 0)^2 = raiz0 + 0,25 = 0,5 m

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional entre a esfera e cada partícula usando a fórmula que vimos:
U = -G m cdot Mr
Onde m = 20,00 kg é a massa da esfera, e M é a massa da partícula. Vamos calcular cada uma:
  1. Energia potencial com a primeira partícula ( m1 = 20,00 kg):
    U1 = - (6,674 times 10^-11) 20 times 205099 approx - (6,674 times 10^-11) 4005099 approx -5,25 times 10^-11 J
  2. Energia potencial com a segunda partícula ( m2 = 40,00 kg):
    U2 = - (6,674 times 10^-11) 20 times 401414,21 approx - (6,674 times 10^-11) 8001414,21 approx -3,78 times 10^-11 J
  3. Energia potencial com a terceira partícula ( m3 = 60,00 kg):
    U3 = - (6,674 times 10^-11) 20 times 600,5 approx - (6,674 times 10^-11) 12000,5 approx -1,60 times 10^-7 J

Passo 6

Finalmente, vamos somar todas as energias potenciais para encontrar a energia potencial gravitacional total da esfera:
Utotal = U1 + U2 + U3 approx -5,25 times 10^-11 - 3,78 times 10^-11 - 1,60 times 10^-7 J
Como U3 é muito maior em magnitude, o total será aproximadamente:
Utotal approx -1,60 times 10^-7 J

Resposta

A energia potencial gravitacional total da esfera de 20,00 kg localizada na origem é aproximadamente -1,60 times 10^-7 J.

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