Considere três partículas cujas coordenadas e massas estão na tabela. Determine a energia potencial gravitacional de uma esfera de
localizada na origem.
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20,00 | 0,5000 | 1,000 |
40,00 |
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1,000 |
60,00 | 0 |
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três partículas com diferentes massas e posições, e queremos descobrir a energia potencial gravitacional de uma esfera de
que está na origem (ponto
). Para isso, vamos precisar usar a fórmula da energia potencial gravitacional e calcular a contribuição de cada uma das outras partículas para essa energia total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas. A fórmula é:
Onde:
-
é a energia potencial gravitacional. -
é a constante gravitacional ( ). -
e são as massas das duas partículas. -
é a distância entre elas.
Passo 3
Vamos identificar as massas e as posições das partículas:
- Primeira partícula:
, posição . - Segunda partícula:
, posição . - Terceira partícula:
, posição . - A esfera na origem:
, posição .
Passo 4
Vamos calcular a distância (
) entre a esfera na origem e cada uma das outras partículas usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Para cada partícula:
-
Primeira partícula:
- Coordenadas da esfera:
- Coordenadas da partícula:
- Distância:
- Coordenadas da esfera:
-
Segunda partícula:
- Coordenadas da partícula:
- Distância:
- Coordenadas da partícula:
-
Terceira partícula:
- Coordenadas da partícula:
- Distância:
- Coordenadas da partícula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional entre a esfera e cada partícula usando a fórmula que vimos:
Onde
é a massa da esfera, e
é a massa da partícula. Vamos calcular cada uma:
-
Energia potencial com a primeira partícula (
): -
Energia potencial com a segunda partícula (
): -
Energia potencial com a terceira partícula (
):
Passo 6
Finalmente, vamos somar todas as energias potenciais para encontrar a energia potencial gravitacional total da esfera:
Como
é muito maior em magnitude, o total será aproximadamente:
Resposta
A energia potencial gravitacional total da esfera de
localizada na origem é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um projétil de
é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de
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acima do solo. Use o princípio de conservação de energia para determinar a velocidade com que o bloco atinge o solo. Despreze o atrito e as massas da roldana e da corda.
Correndo de cabeça para baixo. Os carros de corrida modernos são projetados de tal forma que o ar em movimento os empurra para baixo, permitindo que façam as curvas em alta velociadade sem derrapar. Esta força para baixo é chamada de sustentação negativa. Um carro de corrida pode ter uma sustenção negativa suficiente para andar de cabeça para baixo no teto de uma construção, como fez um carro fictício no filme MIB - Homens de Preto?
A Figura 4 mostra um carro de corrida de massa se movendo em uma pista plana na forma de um arco de circunferência de raio
. Devido à forma do carro e aos aerofólios, o ar que passa exerce sobre o carro uma sustentação negativa
dirigida para baixo.
coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,75 . (Suponha que as forças sobre os quatro pneus são iguais.)
Figura 4:
a) Se o carro se encontra na iminência de derrapar para fora da curva quando a velocidade escalar é , qual é o módulo de
?
A Figura 4 mostra um carro de corrida de massa
Figura 4:
a) Se o carro se encontra na iminência de derrapar para fora da curva quando a velocidade escalar é
Correndo de cabeça para baixo. Os carros de corrida modernos são projetados de tal forma que o ar em movimento os empurra para baixo, permitindo que façam as curvas em alta velociadade sem derrapar. Esta força para baixo é chamada de sustentação negativa. Um carro de corrida pode ter uma sustenção negativa suficiente para andar de cabeça para baixo no teto de uma construção, como fez um carro fictício no filme MIB - Homens de Preto?
A Figura 4 mostra um carro de corrida de massa se movendo em uma pista plana na forma de um arco de circunferência de raio
. Devido à forma do carro e aos aerofólios, o ar que passa exerce sobre o carro uma sustentação negativa
dirigida para baixo.
coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,75 . (Suponha que as forças sobre os quatro pneus são iguais.)
Figura 4:
b) Como a força de arrasto, o módulo da sustentação negativa do carro é proporcional a
, o quadrado da velocidade do carro. Assim, a sustentação negativa é maior quando o carro está se movendo mais depressa, como acontece quando se desloca em um trecho reto da pista. Qual é o módulo da sustentação negativa para uma velocidade de
?
A Figura 4 mostra um carro de corrida de massa
Figura 4:
b) Como a força de arrasto, o módulo