Considere três vetores dados tais que: a=3 imath+3 jmath-2 k, b=-imath-4 jmath+2 k e c=2 imath+2 jmath+k. Calcule a (b times c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui são três vetores no espaço tridimensional: a, b e c. A gente precisa calcular o produto escalar de a com o produto vetorial de b e c, ou seja, a cdot (b times c). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos b e c, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular b times c é dada pelo determinante de uma matriz 3x3:
b times c = imath & jmath & k bx & by & bz cx & cy & cz

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial b times c usando os componentes dos vetores:
b = -imath - 4jmath + 2k
c = 2imath + 2jmath + k
Aplicando a fórmula do determinante:
b times c = imath cdot (by cz - bz cy) - jmath cdot (bx cz - bz cx) + k cdot (bx cy - by cx)
Calculando cada parte:
imath: (-4)(1) - (2)(2) = -4 - 4 = -8
-jmath: [(-1)(1) - (2)(2)] = -1 - 4 = -5 Rightarrow 5jmath
k: [(-1)(2) - (-4)(2)] = -2 + 8 = 6
Então,
b times c = -8imath + 5jmath + 6k

Passo 4

Agora que temos b times c, vamos calcular o produto escalar com a. O produto escalar entre dois vetores a e d é dado por:
a cdot d = ax dx + ay dy + az dz

Passo 5

Vamos identificar as componentes de a e de b times c:
a = 3imath + 3jmath - 2k
b times c = -8imath + 5jmath + 6k
Aplicando a fórmula do produto escalar:
a cdot (b times c) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6)
Calculando cada termo:
(3)(-8) = -24
(3)(5) = 15
(-2)(6) = -12

Resposta

Somando tudo:
-24 + 15 - 12 = -21
Portanto, a cdot (b times c) = -21.

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