Mostre que a razão entre as distâncias de duas partículas ao seu centro de massa é igual à razão inversa de suas massas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas partículas com massas diferentes e queremos descobrir como as distâncias delas em relação ao centro de massa se relacionam. O conteúdo que vamos usar é o conceito de centro de massa e a relação entre massas e distâncias. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que definem o centro de massa e entender como as massas afetam as posições das partículas em relação a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Para duas partículas, a posição do centro de massa R = m1 r1 + m2 r2m1 + m2 pode ser calculada pela fórmula:
onde e são as massas das partículas, e e são as posições delas.

Passo 3

Vamos imaginar que o centro de massa está na origem do nosso sistema de coordenadas para simplificar. Então, temos:
0 = m1 r1 + m2 r2m1 + m2
Multiplicando ambos os lados por m1 r1 + m2 r2 = 0 , ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos resolver para uma das posições, digamos m1 r1 = -m2 r2 :
r1 = -m2m1 r2
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 5

A distância de cada partícula ao centro de massa é o valor absoluto dessas posições. Portanto, temos:
|r1| = m2m1 |r2|
Isso mostra que a razão entre as distâncias é:
|r1||r2| = m2m1

Resposta

A razão entre as distâncias das duas partículas ao seu centro de massa é igual à razão inversa de suas massas, ou seja:
|r1||r2| = m2m1

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