Mostre que a razão entre as distâncias de duas partículas ao seu centro de massa é igual à razão inversa de suas massas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas partículas com massas diferentes e queremos descobrir como as distâncias delas em relação ao centro de massa se relacionam. O conteúdo que vamos usar é o conceito de centro de massa e a relação entre massas e distâncias. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que definem o centro de massa e entender como as massas afetam as posições das partículas em relação a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Para duas partículas, a posição do centro de massa
pode ser calculada pela fórmula:
onde
e
são as massas das partículas, e
e
são as posições delas.
Passo 3
Vamos imaginar que o centro de massa está na origem do nosso sistema de coordenadas para simplificar. Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos resolver para uma das posições, digamos
:
Então, dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
A distância de cada partícula ao centro de massa é o valor absoluto dessas posições. Portanto, temos:
Isso mostra que a razão entre as distâncias é:
Resposta
A razão entre as distâncias das duas partículas ao seu centro de massa é igual à razão inversa de suas massas, ou seja: