Mostre que a razão entre as distâncias de duas partículas ao seu centro de massa é igual à razão inversa de suas massas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos duas partículas com massas diferentes e queremos descobrir como as distâncias delas em relação ao centro de massa se relacionam. O conteúdo que vamos usar é o conceito de centro de massa e a relação entre massas e distâncias. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que definem o centro de massa e entender como as massas afetam as posições das partículas em relação a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Para duas partículas, a posição do centro de massa pode ser calculada pela fórmula:
onde e são as massas das partículas, e e são as posições delas.

Passo 3

Vamos imaginar que o centro de massa está na origem do nosso sistema de coordenadas para simplificar. Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por , ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos resolver para uma das posições, digamos :
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 5

A distância de cada partícula ao centro de massa é o valor absoluto dessas posições. Portanto, temos:
Isso mostra que a razão entre as distâncias é:

Resposta

A razão entre as distâncias das duas partículas ao seu centro de massa é igual à razão inversa de suas massas, ou seja:

Exercícios relacionados

A partir dos dados fornecidos abaixo, calcule a distância entre o centro da Terra e o centro de massa (CM) do sistema Terra-Lua. Expresse a sua resposta em função do raio da Terra, . Dados:
Resp.: .
Calcule as coordenadas do centro de massa (CM) do sistema formado pelas três esferas caracterizadas na tabela abaixo.
esfera
1 20 0,50 1,0
2 40 1,0
3 60 0
Resp.: е у См.
Um vagão-prancha de estrada de ferro, de 2000 kg , que pode se deslocar sem atrito sobre trilhos, está parado próximo a uma plataforma de estação. Um jogador de futebol americano, de 100 kg , corre ao longo da plataforma, paralelamente aos trilhos, a 10 . Ele salta sobre a parte traseira do vagão. (a) Qual é a velocidade do vagão depois que o jogador entra no vagão e fica em repouso em relação a este? (b) A seguir, o jogador começa a andar com velocidade de relativa ao vagão, dirigindo-se para a frente do mesmo. Qual é a nova velocidade do vagão? © Calcule a velocidade do centro de massa do sistema (jogador + vagão) antes do jogador saltar para o vagão. (d) Calcule a velocidade do centro de massa enquanto o jogador anda sobre o vagão.
Resp.: (a) ; (b) ; © ; (d) .
Considere três vetores dados tais que: , e . Calcule .