Considere três vetores
. Mostre que para qualquer vetor
do espaçoépossivel
escrever
com
.
escrever
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem três vetores, que vou chamar de
,
e
. A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer vetor
no espaço, dá pra escrever uma combinação desses vetores mais
que resulte no vetor nulo
, e que o coeficiente de
nessa combinação seja diferente de zero. Ou seja, encontrar números
,
,
e
(com
) tal que:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear e dimensão do espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se não tem como escrever um deles como combinação dos outros. Se tem como escrever, então são linearmente dependentes. No nosso caso, temos quatro vetores:
,
,
e
.
Passo 3
Agora, pensando na dimensão do espaço. No espaço tridimensional (
), a dimensão é 3, o que significa que no máximo três vetores podem ser linearmente independentes. Se a gente tem quatro vetores, como no nosso caso, eles necessariamente são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses quatro vetores que resulta no vetor nulo, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Passo 4
Então, aplicando isso na nossa situação, como sabemos que quatro vetores no espaço tridimensional são linearmente dependentes, existe uma combinação:
onde não todos os coeficientes
,
,
,
são zero. A questão ainda especifica que
, o que é possível justamente por estarmos incluindo o vetor
na combinação.
Passo 5
Para garantir que
, podemos reorganizar a combinação linear. Como os quatro vetores são dependentes, pelo menos um dos coeficientes
,
,
,
precisa ser diferente de zero. Se, por acaso,
fosse zero, ainda teríamos uma combinação dos três vetores
,
e
que dá zero, mostrando que esses três já seriam dependentes. Mas como estamos incluindo
como um vetor qualquer, podemos escolher
para garantir que
está de fato participando da combinação.
Resposta
Portanto, para qualquer vetor
no espaço, é possível encontrar números
,
,
e
com
que satisfazem a equação:
Isso mostra que os quatro vetores são linearmente dependentes.