Considere três vetores l i , a, b e c. Mostre que para qualquer vetor v do espaçoépossivel
escrever x a+y b+z c+t v=0 com t neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! A gente tem três vetores, que vou chamar de a, b e c. A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer vetor v no espaço, dá pra escrever uma combinação desses vetores mais v que resulte no vetor nulo 0, e que o coeficiente de v nessa combinação seja diferente de zero. Ou seja, encontrar números x, y, z e t (com t neq 0) tal que:
x a + y b + z c + t v = 0
Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear e dimensão do espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se não tem como escrever um deles como combinação dos outros. Se tem como escrever, então são linearmente dependentes. No nosso caso, temos quatro vetores: a, b, c e v.

Passo 3

Agora, pensando na dimensão do espaço. No espaço tridimensional ( R^3), a dimensão é 3, o que significa que no máximo três vetores podem ser linearmente independentes. Se a gente tem quatro vetores, como no nosso caso, eles necessariamente são linearmente dependentes. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses quatro vetores que resulta no vetor nulo, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.

Passo 4

Então, aplicando isso na nossa situação, como sabemos que quatro vetores no espaço tridimensional são linearmente dependentes, existe uma combinação:
x a + y b + z c + t v = 0
onde não todos os coeficientes x, y, z, t são zero. A questão ainda especifica que t neq 0, o que é possível justamente por estarmos incluindo o vetor v na combinação.

Passo 5

Para garantir que t neq 0, podemos reorganizar a combinação linear. Como os quatro vetores são dependentes, pelo menos um dos coeficientes x, y, z, t precisa ser diferente de zero. Se, por acaso, t fosse zero, ainda teríamos uma combinação dos três vetores a, b e c que dá zero, mostrando que esses três já seriam dependentes. Mas como estamos incluindo v como um vetor qualquer, podemos escolher t neq 0 para garantir que v está de fato participando da combinação.

Resposta

Portanto, para qualquer vetor v no espaço, é possível encontrar números x, y, z e t com t neq 0 que satisfazem a equação:
x a + y b + z c + t v = 0
Isso mostra que os quatro vetores são linearmente dependentes.

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