Suponha que a e b são vetores L.i. Mostre que:
u=a+b e v=a-b são l.i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. A tarefa aqui é mostrar que os vetores e também são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear deles que resulta no vetor zero é quando os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se a única forma de escrever for com e , então e são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear com k1u + k2v = k1(a + b) + k2(a - b) e = k1a + k1b + k2a - k2b :
= (k1 + k2)a + (k1 - k2)b
Distribuindo os coeficientes:
k1 + k2 = 0 k1 - k2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos de e :
Como e são linearmente independentes, isso significa que os coeficientes de e devem ser iguais a zero para que a combinação dê o vetor zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: (k1 + k2) + (k1 - k2) = 2k1 = 0 implies k1 = 0
  2. Da segunda equação: 0 + k2 = 0 implies k2 = 0
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

Como a única solução possível é e , isso prova que os vetores e são linearmente independentes.

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