Suponha que
são vetores L.i. Mostre que:
são l.i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, que são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. A tarefa aqui é mostrar que os vetores
e
também são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única solução para a combinação linear deles que resulta no vetor zero é quando os coeficientes dessa combinação são zero. Em outras palavras, se a única forma de escrever
for com
e
, então
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear com
e
:
Distribuindo os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos de
e
:
Como
e
são linearmente independentes, isso significa que os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero para que a combinação dê o vetor zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
Como a única solução possível é
e
, isso prova que os vetores
e
são linearmente independentes.