Seja
. Definamos:
Mostre que
com estas operações é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Então, temos o conjunto
com duas operações definidas: adição de vetores e multiplicação por escalar. Nosso objetivo é mostrar que
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas por
com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que para quaisquer vetores
, a equação
deve ser verdadeira. Vamos calcular ambos os lados:
Os dois lados são iguais, então a associatividade está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição. O elemento neutro é o vetor zero
que, quando adicionado a qualquer vetor
, resulta em
novamente:
Portanto, o elemento neutro existe.
Passo 4
Em seguida, precisamos do elemento inverso para a adição. Para cada vetor
, seu inverso é
, pois:
Assim, todo vetor tem seu inverso aditivo.
Passo 5
Vamos verificar agora a comutatividade da adição. Para quaisquer vetores
:
A ordem não altera o resultado, então a adição é comutativa.
Passo 6
Vamos passar para a multiplicação por escalar. Precisamos verificar que, para qualquer escalar
e qualquer vetor
:
Isso está de acordo com a definição dada na questão.
Passo 7
Agora, verificamos a distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
E:
Ambos os lados são iguais, então a propriedade é satisfeita.
Passo 8
Verificamos também a distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
E:
Como os resultados são iguais, a propriedade é válida.
Passo 9
Por último, verificamos a compatibilidade da multiplicação por escalares:
E:
Ambos os lados são iguais, confirmando a propriedade.
Resposta
Como todas as propriedades de um espaço vetorial foram verificadas e satisfeitas, concluímos que
com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial sobre
.