Seja V=R^2. Definamos:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1), com alpha in R
Mostre que V com estas operações é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Então, temos o conjunto com duas operações definidas: adição de vetores e multiplicação por escalar. Nosso objetivo é mostrar que é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas por com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a associatividade da adição. Isso significa que para quaisquer vetores (u + v) + w = (u1 + v1, u2 + v2) + (w1, w2) = (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2) , a equação u + (v + w) = (u1, u2) + (v1 + w1, v2 + w2) = (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2) deve ser verdadeira. Vamos calcular ambos os lados:
Os dois lados são iguais, então a associatividade está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição. O elemento neutro é o vetor zero v + 0 = (v1 + 0, v2 + 0) = (v1, v2) = v que, quando adicionado a qualquer vetor , resulta em novamente:
Portanto, o elemento neutro existe.

Passo 4

Em seguida, precisamos do elemento inverso para a adição. Para cada vetor v + (-v) = (v1 - v1, v2 - v2) = (0, 0) = 0 , seu inverso é , pois:
Assim, todo vetor tem seu inverso aditivo.

Passo 5

Vamos verificar agora a comutatividade da adição. Para quaisquer vetores u + v = (u1 + v1, u2 + v2) = (v1 + u1, v2 + u2) = v + u :
A ordem não altera o resultado, então a adição é comutativa.

Passo 6

Vamos passar para a multiplicação por escalar. Precisamos verificar que, para qualquer escalar alpha v = (alpha v1, alpha v2) e qualquer vetor :
Isso está de acordo com a definição dada na questão.

Passo 7

Agora, verificamos a distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
alpha (u + v) = alpha (u1 + v1, u2 + v2) = (alpha(u1 + v1), alpha(u2 + v2)) = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2)
E:
alpha u + alpha v = (alpha u1, alpha u2) + (alpha v1, alpha v2) = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2)
Ambos os lados são iguais, então a propriedade é satisfeita.

Passo 8

Verificamos também a distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
(alpha + beta) v = ((alpha + beta) v1, (alpha + beta) v2) = (alpha v1 + beta v1, alpha v2 + beta v2)
E:
alpha v + beta v = (alpha v1, alpha v2) + (beta v1, beta v2) = (alpha v1 + beta v1, alpha v2 + beta v2)
Como os resultados são iguais, a propriedade é válida.

Passo 9

Por último, verificamos a compatibilidade da multiplicação por escalares:
alpha (beta v) = alpha (beta v1, beta v2) = (alpha beta v1, alpha beta v2)
E:
(alpha beta) v = (alpha beta v1, alpha beta v2)
Ambos os lados são iguais, confirmando a propriedade.

Resposta

Como todas as propriedades de um espaço vetorial foram verificadas e satisfeitas, concluímos que com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial sobre .

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