Escreva o vetor como combinaçao linear dos vetores da base , em que e e justifique que a solução é única.
Escreva o vetor em coordenadas na base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear na matéria de Álgebra Linear. Precisamos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores da base , onde , e . Além disso, temos que mostrar que essa solução é única e depois escrever o vetor nas coordenadas dessa base.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar escalares (números) que, multiplicados pelos vetores da base, somem para dar o vetor . Ou seja, queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os vetores da base, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa equação vetorial:
Isso significa que as componentes dos vetores devem ser iguais:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, somamos as duas primeiras equações para eliminar y:
(x + y) + (x - y) = 2 + 3 2x = 5 x = 52
Passo 5
Agora, substituímos o valor de x em uma das primeiras equações para encontrar y. Vamos usar x + y = 2:
52 + y = 2 y = 2 - 52 y = -12
Passo 6
Já temos o valor de z diretamente da terceira equação:
z = 5
Passo 7
Então, os escalares que encontramos são:
x = 52, y = -12, z = 5
Portanto, a combinação linear fica:
v = 52a - 12b + 5c
Passo 8
Agora, vamos justificar que essa solução é única. Isso acontece porque os vetores da base B são linearmente independentes. Ou seja, não tem como escrever um dos vetores da base como combinação dos outros. Como B tem exatamente três vetores no espaço tridimensional, ela forma uma base, garantindo que toda combinação linear deve ter uma única representação.
Passo 9
Por fim, para escrever o vetor y em coordenadas na base B, usamos os escalares que encontramos. Então, as coordenadas de y na base B são:
[y]B = ( 52, -12, 5 )
Resposta
A combinação linear é v = 52a - 12b + 5c e as coordenadas de y na base B são ( 52, -12, 5 ). A solução é única pois os vetores da base são linearmente independentes.