Escreva o vetor v=(2,3,5) como combinaçao linear dos vetores da base B=a, b, c, em que a=i+j, b=i-j e c=k e justifique que a solução é única.
Escreva o vetor y em coordenadas na base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de combinação linear na matéria de Álgebra Linear. Precisamos escrever o vetor v = (2, 3, 5) como uma combinação linear dos vetores da base B = a, b, c, onde a = i + j, b = i - j e c = k. Além disso, temos que mostrar que essa solução é única e depois escrever o vetor y nas coordenadas dessa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar escalares (números) que, multiplicados pelos vetores da base, somem para dar o vetor v. Ou seja, queremos encontrar números x, y e z tais que:
v = xa + yb + zc
Substituindo os vetores da base, temos:
(2, 3, 5) = x(i + j) + y(i - j) + zk

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação vetorial:
(2, 3, 5) = (x + y)i + (x - y)j + zk
Isso significa que as componentes dos vetores devem ser iguais:
x + y = 2 (componente i) x - y = 3 (componente j) z = 5 (componente k)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, somamos as duas primeiras equações para eliminar y:
(x + y) + (x - y) = 2 + 3 2x = 5 x = 52

Passo 5

Agora, substituímos o valor de x em uma das primeiras equações para encontrar y. Vamos usar x + y = 2:
52 + y = 2 y = 2 - 52 y = -12

Passo 6

Já temos o valor de z diretamente da terceira equação:
z = 5

Passo 7

Então, os escalares que encontramos são:
x = 52, y = -12, z = 5
Portanto, a combinação linear fica:
v = 52a - 12b + 5c

Passo 8

Agora, vamos justificar que essa solução é única. Isso acontece porque os vetores da base B são linearmente independentes. Ou seja, não tem como escrever um dos vetores da base como combinação dos outros. Como B tem exatamente três vetores no espaço tridimensional, ela forma uma base, garantindo que toda combinação linear deve ter uma única representação.

Passo 9

Por fim, para escrever o vetor y em coordenadas na base B, usamos os escalares que encontramos. Então, as coordenadas de y na base B são:
[y]B = ( 52, -12, 5 )

Resposta

A combinação linear é v = 52a - 12b + 5c e as coordenadas de y na base B são ( 52, -12, 5 ). A solução é única pois os vetores da base são linearmente independentes.

Exercícios relacionados