Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano pi que contém os pontos A=(1,2,3), B=(2,3,1) e C=(3,1,2). Faça um esboço do plano, desenhando a regiāo do plano com (t, s) in[0,1] times[0,1]. Quais as
variaçoes de x, y e z nesta região?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação vetorial e as equações paramétricas do plano pi que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(2,3,1) e C=(3,1,2). Além disso, precisamos esboçar o plano considerando uma região limitada por (t, s) in [0,1] times [0,1] e identificar como as coordenadas x, y e z variam nessa região. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica no Espaço para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano pi. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (2-1, 3-2, 1-3) = (1, 1, -2)
AC = C - A = (3-1, 1-2, 2-3) = (2, -1, -1)
Esses vetores são importantes porque nos ajudam a definir a direção do plano.

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre AB e AC:
n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -2 2 & -1 & -1
Calculando o determinante:
n = i(1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1)) - j(1 cdot (-1) - (-2) cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 2) = i(-1 - 2) - j(-1 - (-4)) + k(-1 - 2)
n = -3i + 3j -3k = (-3, 3, -3)
Podemos simplificar dividindo por -3:
n = (1, -1, 1)
Esse é o vetor normal ao plano pi.

Passo 4

Com o vetor normal n = (1, -1, 1) e sabendo que o ponto A=(1,2,3) está no plano, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação geral de um plano é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano e r0 = (1,2,3) é o ponto de referência. Substituindo:
(1, -1, 1) cdot (x-1, y-2, z-3) = 0
1(x-1) -1(y-2) +1(z-3) = 0
x - 1 - y + 2 + z - 3 = 0
x - y + z - 2 = 0
Então, a equação vetorial do plano pi é:
x - y + z = 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, escolhemos o ponto A=(1,2,3) como ponto base e usamos os vetores AB e AC como direções. As equações paramétricas ficam:
x = 1 + t cdot 1 + s cdot 2
y = 2 + t cdot 1 + s cdot (-1)
z = 3 + t cdot (-2) + s cdot (-1)
Onde t e s são parâmetros que variam dentro de determinados intervalos.

Passo 6

Para esboçar o plano, consideramos os parâmetros t e s variando de 0 a 1. Isso significa que estamos olhando para uma região quadrada no plano definido pelos vetores AB e AC. Visualmente, isso resultaria em um paralelogramo no espaço tridimensional com vértices nos pontos A, B, C e outro ponto obtido pela combinação linear desses vetores.

Passo 7

Agora, vamos analisar como as coordenadas x, y e z variam nessa região quando t e s variam de 0 a 1:
x = 1 + t cdot 1 + s cdot 2 varia de 1 a 1+1+2 = 4
y = 2 + t cdot 1 + s cdot (-1) varia de 2 a 2+1-1 = 2
z = 3 + t cdot (-2) + s cdot (-1) varia de 3-2-1 = 0 a 3
Então, x varia de 1 a 4, y permanece constante em 2, e z varia de 0 a 3 nessa região do plano.

Resposta

A equação vetorial do plano pi é x - y + z = 2 e as equações paramétricas são:
x = 1 + t + 2s y = 2 + t - s z = 3 - 2t - s
Nessa região do plano, quando (t, s) in [0,1] times [0,1], as coordenadas variam da seguinte forma:
x in [1, 4], y = 2, z in [0, 3]

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