Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que contém os pontos e . Faça um esboço do plano, desenhando a regiāo do plano com . Quais as
variaçoes de e nesta região?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . Além disso, precisamos esboçar o plano considerando uma região limitada por e identificar como as coordenadas , e variam nessa região. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica no Espaço para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores e :
Esses vetores são importantes porque nos ajudam a definir a direção do plano.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre e :
Com o vetor normal n = (1, -1, 1) e sabendo que o ponto A=(1,2,3) está no plano, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação geral de um plano é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto qualquer no plano e r0 = (1,2,3) é o ponto de referência. Substituindo:
(1, -1, 1) cdot (x-1, y-2, z-3) = 0
1(x-1) -1(y-2) +1(z-3) = 0
x - 1 - y + 2 + z - 3 = 0
x - y + z - 2 = 0
Então, a equação vetorial do plano pi é:
x - y + z = 2
Passo 5
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas do plano. Para isso, escolhemos o ponto A=(1,2,3) como ponto base e usamos os vetores AB e AC como direções. As equações paramétricas ficam:
x = 1 + t cdot 1 + s cdot 2
y = 2 + t cdot 1 + s cdot (-1)
z = 3 + t cdot (-2) + s cdot (-1)
Onde t e s são parâmetros que variam dentro de determinados intervalos.
Passo 6
Para esboçar o plano, consideramos os parâmetros t e s variando de 0 a 1. Isso significa que estamos olhando para uma região quadrada no plano definido pelos vetores AB e AC. Visualmente, isso resultaria em um paralelogramo no espaço tridimensional com vértices nos pontos A, B, C e outro ponto obtido pela combinação linear desses vetores.
Passo 7
Agora, vamos analisar como as coordenadas x, y e z variam nessa região quando t e s variam de 0 a 1:
x = 1 + t cdot 1 + s cdot 2 varia de 1 a 1+1+2 = 4
y = 2 + t cdot 1 + s cdot (-1) varia de 2 a 2+1-1 = 2
z = 3 + t cdot (-2) + s cdot (-1) varia de 3-2-1 = 0 a 3
Então, x varia de 1 a 4, y permanece constante em 2, e z varia de 0 a 3 nessa região do plano.
Resposta
A equação vetorial do plano pi é x - y + z = 2 e as equações paramétricas são:
x = 1 + t + 2s y = 2 + t - s z = 3 - 2t - s
Nessa região do plano, quando (t, s) in [0,1] times [0,1], as coordenadas variam da seguinte forma: