Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
O que resulta de (a)
, (b)
e ©
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de vetores que envolve operações como produto escalar e produto vetorial. Os vetores são:
Vamos calcular três expressões:
a)
b)
c)
Para resolver, vamos precisar saber como fazer soma de vetores, produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a):
Soma de Vetores:
Para somar dois vetores, somamos cada uma das suas componentes.
Então,
Produto Escalar:
O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b):
Produto Vetorial:
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois. A fórmula para calcular o produto vetorial
é:
Aplicando isso para
:
Calculando o determinante:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então,
Produto Escalar:
Agora, calculamos o produto escalar com
:
Passo 4
Finalmente, a parte ©:
Primeiro, já calculamos
no Passo 2.
Produto Vetorial Interno:
Vamos calcular
:
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
Calculando o determinante:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então,
Produto Vetorial Externo:
Agora, calculamos
:
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
Calculando o determinante:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então,
Resposta
a)
b)
c)
Exercícios relacionados
Três vetores são dados por
e
. Encontre (a)
, (b)
e ©
.
Para os vetores
e
, forneça
(a) em termos de vetores unitários, e em termos de (b) um módulo e © um ângulo (em relação a î).
Dois vetores de comprimentos
e
fazem entre si um ângulo
. Prove, calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vetores é dado por
(a) Em termos de vetores unitários, qual é
, se
,
e
? (b) Calcule o ângulo entre
e o sentido positivo do eixo
.