Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
d1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k
d2=-2,0 i-4,0 j+2,0 k d3=2,0 i+3,0 j+1,0 k
O que resulta de (a) d1 cdot(d2+d3), (b) d1 cdot(d2 times d3) e © d1 times(d2 times(d2+d3)) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de vetores que envolve operações como produto escalar e produto vetorial. Os vetores são:
d1 = -3,0 i + 3,0 j + 2,0 k
d2 = -2,0 i - 4,0 j + 2,0 k
d3 = 2,0 i + 3,0 j + 1,0 k
Vamos calcular três expressões:
a) d1 cdot (d2 + d3)
b) d1 cdot (d2 times d3)
c) d1 times (d2 times (d2 + d3))
Para resolver, vamos precisar saber como fazer soma de vetores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): d1 cdot (d2 + d3)
Soma de Vetores:
Para somar dois vetores, somamos cada uma das suas componentes.
d2 + d3 = (-2,0 + 2,0)i + (-4,0 + 3,0)j + (2,0 + 1,0)k = (0,0)i + (-1,0)j + (3,0)k
Então,
d2 + d3 = 0,0 i - 1,0 j + 3,0 k
Produto Escalar:
O produto escalar entre dois vetores a = ax i + ay j + az k e b = bx i + by j + bz k é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Aplicando isso:
d1 cdot (d2 + d3) = (-3,0)(0,0) + (3,0)(-1,0) + (2,0)(3,0) = 0 + (-3,0) + 6,0 = 3,0

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): d1 cdot (d2 times d3)
Produto Vetorial:
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois. A fórmula para calcular o produto vetorial a times b é:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Aplicando isso para d2 times d3:
d2 times d3 = i & j & k -2,0 & -4,0 & 2,0 2,0 & 3,0 & 1,0
Calculando o determinante:
  • Componente i:
(-4,0)(1,0) - (2,0)(3,0) = -4,0 - 6,0 = -10,0
  • Componente j:
- [(-2,0)(1,0) - (2,0)(2,0)] = -[-2,0 - 4,0] = 6,0
  • Componente k:
(-2,0)(3,0) - (-4,0)(2,0) = -6,0 + 8,0 = 2,0
Então,
d2 times d3 = -10,0 i + 6,0 j + 2,0 k
Produto Escalar:
Agora, calculamos o produto escalar com d1:
d1 cdot (d2 times d3) = (-3,0)(-10,0) + (3,0)(6,0) + (2,0)(2,0) = 30,0 + 18,0 + 4,0 = 52,0

Passo 4

Finalmente, a parte ©: d1 times (d2 times (d2 + d3))
Primeiro, já calculamos d2 + d3 = 0,0 i - 1,0 j + 3,0 k no Passo 2.
Produto Vetorial Interno:
Vamos calcular d2 times (d2 + d3):
d2 = -2,0 i -4,0 j +2,0 k
d2 + d3 = 0,0 i -1,0 j +3,0 k
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
d2 times (d2 + d3) = i & j & k -2,0 & -4,0 & 2,0 0,0 & -1,0 & 3,0
Calculando o determinante:
  • Componente i:
(-4,0)(3,0) - (2,0)(-1,0) = -12,0 + 2,0 = -10,0
  • Componente j:
- [(-2,0)(3,0) - (2,0)(0,0)] = -[-6,0 -0] = 6,0
  • Componente k:
(-2,0)(-1,0) - (-4,0)(0,0) = 2,0 -0 = 2,0
Então,
d2 times (d2 + d3) = -10,0 i + 6,0 j + 2,0 k
Produto Vetorial Externo:
Agora, calculamos d1 times (d2 times (d2 + d3)):
d1 = -3,0 i + 3,0 j + 2,0 k
d2 times (d2 + d3) = -10,0 i + 6,0 j + 2,0 k
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
d1 times (d2 times (d2 + d3)) = i & j & k -3,0 & 3,0 & 2,0 -10,0 & 6,0 & 2,0
Calculando o determinante:
  • Componente i:
(3,0)(2,0) - (2,0)(6,0) = 6,0 - 12,0 = -6,0
  • Componente j:
- [(-3,0)(2,0) - (2,0)(-10,0)] = -[-6,0 +20,0] = -14,0
  • Componente k:
(-3,0)(6,0) - (3,0)(-10,0) = -18,0 +30,0 = 12,0
Então,
d1 times (d2 times (d2 + d3)) = -6,0 i -14,0 j +12,0 k

Resposta

a) 3,0
b) 52,0
c) -6,0 i -14,0 j +12,0 k

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