(a) Em termos de vetores unitários, qual é , se , e ? (b) Calcule o ângulo entre e o sentido positivo do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
(a) A gente precisa encontrar o vetor usando os vetores unitários , e .
(b) Depois, calcular o ângulo entre o vetor que encontramos e o sentido positivo do eixo .
Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma e subtração de vetores e o cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor . Temos os vetores:
A gente vai fazer . Isso significa que vamos subtrair componente a componente de de e depois adicionar .

Passo 3

Vamos fazer as contas componente a componente:
Para a componente :
Para a componente :
Para a componente :

Passo 4

Então, juntando tudo, o vetor fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor e o sentido positivo do eixo . Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o vetor unitário na direção do eixo : .
  • é o produto escalar entre e .
  • é o módulo do vetor .
  • é o módulo do vetor , que é 1.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, o módulo de :
E o módulo de é 1.

Passo 8

Aplicando na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Resposta

(a) O vetor é .
(b) O ângulo entre e o sentido positivo do eixo é aproximadamente .

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Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
O que resulta de (a) , (b) e © ?
(i) Determine o módulo de .
(a) Determine a soma na notação dos vetores unitários.