(a) Em termos de vetores unitários, qual é r=a-b+c, se a=5,0 i+4,0 j-6,0 k, b=-2,0 i+2,0 j+3,0 k e c=4,0 i+3,0 j+2,0 k ? (b) Calcule o ângulo entre r e o sentido positivo do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
(a) A gente precisa encontrar o vetor usando os vetores unitários , e .
(b) Depois, calcular o ângulo entre o vetor que encontramos e o sentido positivo do eixo .
Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma e subtração de vetores e o cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor a = 5,0,i + 4,0,j - 6,0,k . Temos os vetores:
b = -2,0,i + 2,0,j + 3,0,k
c = 4,0,i + 3,0,j + 2,0,k
A gente vai fazer . Isso significa que vamos subtrair componente a componente de de e depois adicionar .

Passo 3

Vamos fazer as contas componente a componente:
Para a componente 5,0 - (-2,0) + 4,0 = 5,0 + 2,0 + 4,0 = 11,0 :
4,0 - 2,0 + 3,0 = 4,0 - 2,0 + 3,0 = 5,0
Para a componente -6,0 - 3,0 + 2,0 = -6,0 - 3,0 + 2,0 = -7,0 :
Para a componente :

Passo 4

Então, juntando tudo, o vetor r = 11,0,i + 5,0,j - 7,0,k fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor cos(theta) = r cdot k|r| cdot |k| e o sentido positivo do eixo . Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o vetor unitário na direção do eixo : .
  • é o produto escalar entre e .
  • é o módulo do vetor .
  • é o módulo do vetor , que é 1.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o produto escalar r cdot k = (11,0 times 0) + (5,0 times 0) + (-7,0 times 1) = 0 + 0 - 7,0 = -7,0 :

Passo 7

Agora, o módulo de |r| = raiz11,0^2 + 5,0^2 + (-7,0)^2 = raiz121 + 25 + 49 = raiz195 approx 13,96 :
E o módulo de é 1.

Passo 8

Aplicando na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -7,013,96 times 1 approx -7,013,96 approx -0,501
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0,501) approx 120^circ , tiramos o arco cosseno:

Resposta

(a) O vetor é .
(b) O ângulo entre e o sentido positivo do eixo é aproximadamente .

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