(a) Em termos de vetores unitários, qual é
, se
,
e
? (b) Calcule o ângulo entre
e o sentido positivo do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes:
(a) A gente precisa encontrar o vetor
usando os vetores unitários
,
e
.
(b) Depois, calcular o ângulo entre o vetor
que encontramos e o sentido positivo do eixo
.
Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como soma e subtração de vetores e o cálculo de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor
. Temos os vetores:
A gente vai fazer
. Isso significa que vamos subtrair componente a componente de
de
e depois adicionar
.
Passo 3
Vamos fazer as contas componente a componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 4
Então, juntando tudo, o vetor
fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor
e o sentido positivo do eixo
. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o vetor unitário na direção do eixo : . -
é o produto escalar entre e . -
é o módulo do vetor . -
é o módulo do vetor , que é 1.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, o módulo de
:
E o módulo de
é 1.
Passo 8
Aplicando na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Resposta
(a) O vetor
é
.
(b) O ângulo entre
e o sentido positivo do eixo
é aproximadamente
.
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Dois vetores de comprimentos
e
fazem entre si um ângulo
. Prove, calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vetores é dado por
Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
O que resulta de (a)
, (b)
e ©
?
(i) Determine o módulo de
.
(a) Determine a soma
na notação dos vetores unitários.