Dois vetores de comprimentos e fazem entre si um ângulo . Prove, calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vetores é dado por

Passo 1

Então, o enunciado fala sobre dois vetores com comprimentos e que formam um ângulo entre si. A gente precisa provar que o comprimento da soma desses vetores, que a gente vai chamar de , é dado por:
Para isso, vamos usar os conceitos de componentes vetoriais em dois eixos perpendiculares (normalmente os eixos e ) e a fórmula da soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os dois vetores nos eixos e . Vamos assumir que o vetor com comprimento está alinhado com o eixo . Então, suas componentes são:
Agora, o segundo vetor com comprimento forma um ângulo com . Suas componentes serão:

Passo 3

Para encontrar a soma dos dois vetores, , somamos as componentes correspondentes:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o comprimento de , que chamamos de . O comprimento de um vetor é dado pela fórmula:
Aplicando isso à nossa soma:

Passo 5

Vamos expandir os termos dentro da raiz:
E:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Observamos que , que é uma identidade trigonométrica básica. Assim, podemos simplificar:
Então, a expressão para fica:

Resposta

Portanto, o comprimento da soma dos dois vetores é:

Exercícios relacionados

Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
O que resulta de (a) , (b) e © ?
Três vetores são dados por e . Encontre (a) , (b) e © .
(a) Em termos de vetores unitários, qual é , se , e ? (b) Calcule o ângulo entre e o sentido positivo do eixo .
(i) Determine o módulo de .