Dois vetores de comprimentos a e b fazem entre si um ângulo theta. Prove, calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vetores é dado por
r=raiza^2+b^2+2 a b cos theta

Passo 1

Então, o enunciado fala sobre dois vetores com comprimentos r = raiza^2 + b^2 + 2ab cos theta e que formam um ângulo entre si. A gente precisa provar que o comprimento da soma desses vetores, que a gente vai chamar de , é dado por:
Para isso, vamos usar os conceitos de componentes vetoriais em dois eixos perpendiculares (normalmente os eixos e ) e a fórmula da soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os dois vetores nos eixos A = (a, 0) e B = (b cos theta, b sin theta) . Vamos assumir que o vetor com comprimento está alinhado com o eixo . Então, suas componentes são:
Agora, o segundo vetor com comprimento forma um ângulo com . Suas componentes serão:

Passo 3

Para encontrar a soma dos dois vetores, R = (a + b cos theta, 0 + b sin theta) = (a + b cos theta, b sin theta) , somamos as componentes correspondentes:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o comprimento de r = raizx^2 + y^2 , que chamamos de r = raiz(a + b cos theta)^2 + (b sin theta)^2 . O comprimento de um vetor é dado pela fórmula:
Aplicando isso à nossa soma:

Passo 5

Vamos expandir os termos dentro da raiz:
(a + b cos theta)^2 = a^2 + 2ab cos theta + b^2 cos^2 theta
E:
(b sin theta)^2 = b^2 sin^2 theta
Então, substituindo de volta:
r = raiza^2 + 2ab cos theta + b^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta

Passo 6

Observamos que b^2 cos^2 theta + b^2 sin^2 theta = b^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = b^2 , que é uma identidade trigonométrica básica. Assim, podemos simplificar:
r = raiza^2 + 2ab cos theta + b^2
Então, a expressão para fica:

Resposta

Portanto, o comprimento da soma dos dois vetores é:
r = raiza^2 + b^2 + 2ab cos theta

Exercícios relacionados