Dois vetores de comprimentos
e
fazem entre si um ângulo
. Prove, calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vetores é dado por
Passo 1
Então, o enunciado fala sobre dois vetores com comprimentos
e
que formam um ângulo
entre si. A gente precisa provar que o comprimento da soma desses vetores, que a gente vai chamar de
, é dado por:
Para isso, vamos usar os conceitos de componentes vetoriais em dois eixos perpendiculares (normalmente os eixos
e
) e a fórmula da soma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os dois vetores nos eixos
e
. Vamos assumir que o vetor
com comprimento
está alinhado com o eixo
. Então, suas componentes são:
Agora, o segundo vetor
com comprimento
forma um ângulo
com
. Suas componentes serão:
Passo 3
Para encontrar a soma dos dois vetores,
, somamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o comprimento de
, que chamamos de
. O comprimento de um vetor
é dado pela fórmula:
Aplicando isso à nossa soma:
Passo 5
Vamos expandir os termos dentro da raiz:
E:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Observamos que
, que é uma identidade trigonométrica básica. Assim, podemos simplificar:
Então, a expressão para
fica:
Resposta
Portanto, o comprimento da soma dos dois vetores é:
Exercícios relacionados
Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
O que resulta de (a)
, (b)
e ©
?
Três vetores são dados por
e
. Encontre (a)
, (b)
e ©
.
(a) Em termos de vetores unitários, qual é
, se
,
e
? (b) Calcule o ângulo entre
e o sentido positivo do eixo
.
(i) Determine o módulo de
.