Três vetores são dados por e . Encontre (a) , (b) e © .

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três vetores: , e . O que a questão pede é pra gente calcular três coisas:
a) O produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja, .
b) O produto escalar de com a soma de e , que é .
c) O produto vetorial de com a soma de e , ou seja, .
Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar, o produto vetorial e as operações com vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:

Passo 3

Vamos expandir esse determinante:
Calculando cada parte:
  • Para :
Então, a componente é .
  • Para :
Então, a componente é (lembra do sinal negativo na frente).
  • Para :
Então, a componente é .
Então, temos:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o item (a): . O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Então,
Multiplicando componente por componente:
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): . Primeiro, precisamos somar os vetores e :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Calculando:

Passo 6

Por último, vamos resolver o item ©: . Já temos . Vamos calcular o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Calculando cada parte:
  • Para :
Então, a componente é .
  • Para :
Então, a componente é .
  • Para :
Então, a componente é .
Portanto,

Resposta

a)
b)
c)

Exercícios relacionados

Para os vetores e , forneça (a) em termos de vetores unitários, e em termos de (b) um módulo e © um ângulo (em relação a î).
Considere os três vetores unitários seguintes em metros:
O que resulta de (a) , (b) e © ?
Dois vetores de comprimentos e fazem entre si um ângulo . Prove, calculando as componentes dos vetores em relação a dois eixos perpendiculares, que o comprimento da soma dos dois vetores é dado por