Três vetores são dados por a=3,0 i+3,0 j-2,0 k, b=21,0 i-4,0 j+2,0 k e c=2,0 i+2,0 j+1,0 k. Encontre (a) a cdot(b times c), (b) a cdot(b+c) e © a times(b+c).

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três vetores: a, b e c. O que a questão pede é pra gente calcular três coisas:
a) O produto escalar de a com o produto vetorial de b e c, ou seja, a cdot (b times c).
b) O produto escalar de a com a soma de b e c, que é a cdot (b + c).
c) O produto vetorial de a com a soma de b e c, ou seja, a times (b + c).
Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar, o produto vetorial e as operações com vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular b times c, que é o produto vetorial entre b e c. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
b times c = i & j & k 21 & -4 & 2 2 & 2 & 1

Passo 3

Vamos expandir esse determinante:
b times c = i cdot ( (-4)(1) - (2)(2) ) - j cdot ( (21)(1) - (2)(2) ) + k cdot ( (21)(2) - (-4)(2) )
Calculando cada parte:
  • Para i:
(-4)(1) - (2)(2) = -4 - 4 = -8
Então, a componente i é -8i.
  • Para j:
(21)(1) - (2)(2) = 21 - 4 = 17
Então, a componente j é -17j (lembra do sinal negativo na frente).
  • Para k:
(21)(2) - (-4)(2) = 42 + 8 = 50
Então, a componente k é 50k.
Então, temos:
b times c = -8i - 17j + 50k

Passo 4

Agora que temos b times c, vamos calcular o item (a): a cdot (b times c). O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Então,
a cdot (b times c) = (3,0)i + (3,0)j + (-2,0)k cdot (-8)i + (-17)j + 50k
Multiplicando componente por componente:
(3 times -8) + (3 times -17) + (-2 times 50)
Calculando:
-24 - 51 - 100 = -175

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): a cdot (b + c). Primeiro, precisamos somar os vetores b e c:
b + c = (21 + 2)i + (-4 + 2)j + (2 + 1)k = 23i - 2j + 3k
Agora, fazemos o produto escalar com a:
a cdot (b + c) = (3)times23 + (3)times(-2) + (-2)times3
Calculando:
69 - 6 - 6 = 57

Passo 6

Por último, vamos resolver o item ©: a times (b + c). Já temos b + c = 23i - 2j + 3k. Vamos calcular o produto vetorial:
a times (b + c) = i & j & k 3 & 3 & -2 23 & -2 & 3
Expandindo o determinante:
i cdot (3 times 3 - (-2) times (-2)) - j cdot (3 times 3 - (-2) times 23) + k cdot (3 times (-2) - 3 times 23)
Calculando cada parte:
  • Para i:
3 times 3 - (-2) times (-2) = 9 - 4 = 5
Então, a componente i é 5i.
  • Para j:
3 times 3 - (-2) times 23 = 9 + 46 = 55
Então, a componente j é -55j.
  • Para k:
3 times (-2) - 3 times 23 = -6 - 69 = -75
Então, a componente k é -75k.
Portanto,
a times (b + c) = 5i - 55j - 75k

Resposta

a) a cdot (b times c) = -175
b) a cdot (b + c) = 57
c) a times (b + c) = 5i - 55j - 75k

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