Beleza, pessoal! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três vetores: , e . O que a questão pede é pra gente calcular três coisas:
a) O produto escalar de com o produto vetorial de e , ou seja, .
b) O produto escalar de com a soma de e , que é .
c) O produto vetorial de com a soma de e , ou seja, .
Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto escalar, o produto vetorial e as operações com vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que é o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Passo 3
Vamos expandir esse determinante:
b times c = i cdot ( (-4)(1) - (2)(2) ) - j cdot ( (21)(1) - (2)(2) ) + k cdot ( (21)(2) - (-4)(2) )
Calculando cada parte:
Para i:
(-4)(1) - (2)(2) = -4 - 4 = -8
Então, a componente i é -8i.
Para j:
(21)(1) - (2)(2) = 21 - 4 = 17
Então, a componente j é -17j (lembra do sinal negativo na frente).
Para k:
(21)(2) - (-4)(2) = 42 + 8 = 50
Então, a componente k é 50k.
Então, temos:
b times c = -8i - 17j + 50k
Passo 4
Agora que temos b times c, vamos calcular o item (a): a cdot (b times c). O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Então,
a cdot (b times c) = (3,0)i + (3,0)j + (-2,0)k cdot (-8)i + (-17)j + 50k
Multiplicando componente por componente:
(3 times -8) + (3 times -17) + (-2 times 50)
Calculando:
-24 - 51 - 100 = -175
Passo 5
Agora, vamos para o item (b): a cdot (b + c). Primeiro, precisamos somar os vetores b e c: