Considere um triângulo A B C e sejam X1 e X2 os respectivos pontos médios dos segmentos A B e B C. Prove que X1 X2 é paralelo a A C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo ABC e dois pontos X1 e X2 que são os pontos médios dos lados AB e BC. Nosso objetivo é mostrar que o segmento X1 X2 é paralelo ao lado AC. Para isso, vamos usar conceitos de geometria, como pontos médios e propriedades de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um ponto médio. Um ponto médio divide um segmento em duas partes iguais. Então, X1 está no meio de AB e X2 está no meio de BC. Isso nos dá:
AX1 = X1B e BX2 = X2C

Passo 3

Agora, vamos considerar as coordenadas dos pontos para facilitar. Suponha que:
A = (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC, yC)
Então, as coordenadas dos pontos médios são:
X1 = ( xA + xB2, yA + yB2 )
X2 = ( xB + xC2, yB + yC2 )

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente angular (inclinação) dos segmentos X1 X2 e AC. Se eles tiverem o mesmo coeficiente angular, então são paralelos.
O coeficiente angular de AC é:
mAC = yC - yAxC - xA
E o de X1 X2 é:
mX1X2 = ( yB + yC2 ) - ( yA + yB2 )( xB + xC2 ) - ( xA + xB2 ) = yC - yA2xC - xA2 = yC - yAxC - xA

Passo 5

Observamos que:
mX1X2 = mAC
Ou seja, os dois segmentos têm o mesmo coeficiente angular, o que significa que são paralelos.

Resposta

O segmento X1 X2 é paralelo a A C.

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