Prove que .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que . Esse problema está relacionado ao estudo de produtos escalares e normas de vetores na matéria de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e a norma de um vetor, além de manipular expressões algébricas envolvendo esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre os vetores. No entanto, para este exercício, não precisamos diretamente do ângulo.

Passo 3

A norma de um vetor é definida como:
E, portanto, a norma ao quadrado é:

Passo 4

Vamos calcular e usando a definição da norma ao quadrado:

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Considere um triângulo e sejam e os respectivos pontos médios dos segmentos e . Prove que é paralelo a .
Determine a equação cartesiana do círculo de centro e raio onde:
(a) e
(b) e ;
© e
Três pontos e são colineares quando eles estão sob a mesma reta. Equivalentemente, eles são colineares quando e são paralelos.
Verifique se são colineares os pontos:
(a) e .
(b) e .
Resposta: (a) Sim (b) Não
Verifique se os pontos e são colineares.