Prove que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que
. Esse problema está relacionado ao estudo de produtos escalares e normas de vetores na matéria de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e a norma de um vetor, além de manipular expressões algébricas envolvendo esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre os vetores. No entanto, para este exercício, não precisamos diretamente do ângulo.
Passo 3
A norma de um vetor
é definida como:
E, portanto, a norma ao quadrado é:
Passo 4
Vamos calcular
e
usando a definição da norma ao quadrado:
Passo 5
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por 4:
Resposta
Portanto, provamos que: