Prove que u cdot v=14|u+v|^2-14|u-v|^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que . Esse problema está relacionado ao estudo de produtos escalares e normas de vetores na matéria de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e a norma de um vetor, além de manipular expressões algébricas envolvendo esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores u cdot v = |u| |v| cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre os vetores. No entanto, para este exercício, não precisamos diretamente do ângulo.

Passo 3

A norma de um vetor |u| = raizu cdot u é definida como:
|u|^2 = u cdot u
E, portanto, a norma ao quadrado é:

Passo 4

Vamos calcular |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v e |u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2u cdot v + v cdot v usando a definição da norma ao quadrado:

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = (u cdot u + 2u cdot v + v cdot v) - (u cdot u - 2u cdot v + v cdot v)
|u + v|^2 - |u - v|^2 = 4u cdot v

Passo 6

Agora, isolamos u cdot v = 14 (|u + v|^2 - |u - v|^2) dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

Portanto, provamos que:
u cdot v = 14|u + v|^2 - 14|u - v|^2

Exercícios relacionados