Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se
então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Se
então
.” Aqui, estamos lidando com vetores e escalares, especificamente multiplicação de vetores por um número
. Para resolver isso, vamos ver se essa afirmação é sempre verdadeira ou se existem casos em que não vale.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor
por um número
, cada componente de
é multiplicado por
. Então,
basicamente “estica” ou “encolhe” o vetor dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: “Se
então
.” Para isso, queremos saber se, ao multiplicar dois vetores por um mesmo escalar e obter vetores iguais, os vetores originais também são iguais.
Passo 4
Vamos considerar dois casos para o escalar
:
-
: Se for diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por (já que dividir por um número diferente de zero é válido). Assim:
Portanto, nesse caso, a afirmação é verdadeira. -
: Se for zero, a equação se torna:
Isso é sempre verdadeiro, mas não nos diz nada sobree . Ou seja, e podem ser vetores diferentes e ainda assim a equação será verdadeira.
Passo 5
Como vimos, quando
, podemos ter
mesmo que
. Isso significa que a afirmação "Se
então
" não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é quando
e
. Por exemplo, seja
,
e
. Então,
, mas
.