Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Se então .” Aqui, estamos lidando com vetores e escalares, especificamente multiplicação de vetores por um número . Para resolver isso, vamos ver se essa afirmação é sempre verdadeira ou se existem casos em que não vale.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor por um número , cada componente de é multiplicado por . Então, basicamente “estica” ou “encolhe” o vetor dependendo do valor de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: “Se então .” Para isso, queremos saber se, ao multiplicar dois vetores por um mesmo escalar e obter vetores iguais, os vetores originais também são iguais.

Passo 4

Vamos considerar dois casos para o escalar :
  1. : Se for diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por (já que dividir por um número diferente de zero é válido). Assim:

    Portanto, nesse caso, a afirmação é verdadeira.
  2. : Se for zero, a equação se torna:

    Isso é sempre verdadeiro, mas não nos diz nada sobre e . Ou seja, e podem ser vetores diferentes e ainda assim a equação será verdadeira.

Passo 5

Como vimos, quando , podemos ter mesmo que . Isso significa que a afirmação "Se então " não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é quando e . Por exemplo, seja , e . Então, , mas .

Exercícios relacionados

(PUC-RJ)O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:
A) -2
Determine o ponto tal que , onde e .
Determine a equação cartesiana do círculo de centro e raio onde:
(a) e
(b) e ;
© e
Considere um triângulo e sejam e os respectivos pontos médios dos segmentos e . Prove que é paralelo a .