Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se lambda v=lambda w então v=w.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Se lambda v = lambda w então v = w.” Aqui, estamos lidando com vetores e escalares, especificamente multiplicação de vetores por um número lambda. Para resolver isso, vamos ver se essa afirmação é sempre verdadeira ou se existem casos em que não vale.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor v por um número lambda, cada componente de v é multiplicado por lambda. Então, lambda v basicamente “estica” ou “encolhe” o vetor dependendo do valor de lambda.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: “Se lambda v = lambda w então v = w.” Para isso, queremos saber se, ao multiplicar dois vetores por um mesmo escalar e obter vetores iguais, os vetores originais também são iguais.

Passo 4

Vamos considerar dois casos para o escalar lambda:
  1. lambda neq 0: Se lambda for diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação lambda v = lambda w por lambda (já que dividir por um número diferente de zero é válido). Assim:
    lambda vlambda = lambda wlambda
    v = w
    Portanto, nesse caso, a afirmação é verdadeira.
  2. lambda = 0: Se lambda for zero, a equação se torna:
    0 cdot v = 0 cdot w
    0 = 0
    Isso é sempre verdadeiro, mas não nos diz nada sobre v e w. Ou seja, v e w podem ser vetores diferentes e ainda assim a equação será verdadeira.

Passo 5

Como vimos, quando lambda = 0, podemos ter lambda v = lambda w mesmo que v neq w. Isso significa que a afirmação "Se lambda v = lambda w então v = w" não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é quando lambda = 0 e v neq w. Por exemplo, seja lambda = 0, v = 10 e w = 01. Então, 0 cdot v = 0 cdot w = 00, mas v neq w.

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