Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa afirmação: “Se então .” Aqui, estamos lidando com vetores e escalares, especificamente multiplicação de vetores por um número . Para resolver isso, vamos ver se essa afirmação é sempre verdadeira ou se existem casos em que não vale.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor por um número , cada componente de é multiplicado por . Então, basicamente “estica” ou “encolhe” o vetor dependendo do valor de .
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: “Se então .” Para isso, queremos saber se, ao multiplicar dois vetores por um mesmo escalar e obter vetores iguais, os vetores originais também são iguais.
Passo 4
Vamos considerar dois casos para o escalar :
: Se for diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por (já que dividir por um número diferente de zero é válido). Assim:
Portanto, nesse caso, a afirmação é verdadeira.
: Se for zero, a equação se torna:
Isso é sempre verdadeiro, mas não nos diz nada sobre e . Ou seja, e podem ser vetores diferentes e ainda assim a equação será verdadeira.
Passo 5
Como vimos, quando , podemos ter mesmo que . Isso significa que a afirmação "Se então " não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é quando e . Por exemplo, seja , e . Então, , mas .