Três pontos e são colineares quando eles estão sob a mesma reta. Equivalentemente, eles são colineares quando e A C são paralelos.
Verifique se são colineares os pontos:
(a) A=(-1,-5,0), B=(2,1,3) e C=(-2,-7,-1).
(b) A=(2,1,-1), B=(3,-1,0) e C=(1,0,4).
Resposta: (a) Sim (b) Não
Passo 1
Vamos verificar se os pontos e são colineares. Para isso, vamos usar vetores: se os vetores e forem paralelos, então os pontos estão na mesma reta. Isso envolve calcular esses vetores e ver se um é múltiplo do outro.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (2 - (-1), 1 - (-5), 3 - 0) = (3, 6, 3)
AC = C - A = (-2 - (-1), -7 - (-5), -1 - 0) = (-1, -2, -1)
Agora, calculamos os vetores e :
Passo 3
Para verificar se AB = lambda , AC e 3 = lambda times (-1) Rightarrow lambda = -3 são paralelos, precisamos ver se existe um número real 6 = lambda times (-2) Rightarrow lambda = -3 tal que:
3 = lambda times (-1) Rightarrow lambda = -3
Comparando as componentes:
Como o mesmo valor de satisfaz todas as componentes, os vetores são paralelos.
Passo 4
Parte (b):
Agora, vamos para os novos pontos:
AB = B - A = (3 - 2, -1 - 1, 0 - (-1)) = (1, -2, 1)
AC = C - A = (1 - 2, 0 - 1, 4 - (-1)) = (-1, -1, 5)
Calculamos os vetores e :
Passo 5
Verificando se 1 = lambda times (-1) Rightarrow lambda = -1 e -2 = lambda times (-1) Rightarrow lambda = 2 são paralelos:
1 = lambda times 5 Rightarrow lambda = 15
Os valores de não são iguais, então os vetores não são paralelos.