Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
© lx(theta)=4+3 cos (theta) y(theta)=2+5 sen(theta), 0 <= theta<2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas equações que descrevem uma curva no plano usando um parâmetro . Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma única equação cartesiana e descobrir que tipo de curva é essa. Para isso, vamos precisar usar trigonometria básica e conhecimentos sobre curvas cônicas, como elipses e circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que temos:
x(theta) = 4 + 3 cos(theta) y(theta) = 2 + 5 sin(theta) , 0 <= theta < 2pi
Nossa missão é eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 3

Vamos começar isolando os termos que envolvem x - 4 = 3 cos(theta) e y - 2 = 5 sin(theta) :
x - 43 = cos(theta)
y - 25 = sin(theta)
Agora, vamos dividir ambos os lados de cada equação pelos coeficientes de e :

Passo 4

Sabemos que (x - 43)^2 + (y - 25)^2 = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 . Vamos usar essa identidade trigonométrica para relacionar e :

Passo 5

Agora, simplificando a equação:
(x - 4)^29 + (y - 2)^225 = 1
Essa é a equação geral de uma elipse, onde e .

Resposta

A equação cartesiana reduzida é:
(x - 4)^29 + (y - 2)^225 = 1
E a curva representada por essas equações paramétricas é uma elipse com centro no ponto , semi-eixo maior de comprimento 5 e semi-eixo menor de comprimento 3.

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