Considere o triângulo A B C de vértices A=(5,1), B=(8,9) e C=(13,23). Sendo assim, responda a cada um dos itens abaixo:
(d) determine as retas que ligam os vértices A, B e C aos respectivos pontos médios dos lados opostos, que aqui serão denotados por M, N e P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo ABC com os vértices A=(5,1), B=(8,9) e C=(13,23). A pergunta quer que a gente encontre as retas que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos médios e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos médios dos lados opostos. O ponto médio de um segmento de reta com extremos X=(x1, y1) e Y=(x2, y2) é dado por:
M = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Vamos calcular os pontos médios M, N e P.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio M do lado BC. Os pontos B=(8,9) e C=(13,23).
M = ( 8 + 132, 9 + 232 ) = ( 212, 322 ) = (10.5, 16)

Passo 4

Agora, o ponto médio N do lado AC. Os pontos A=(5,1) e C=(13,23).
N = ( 5 + 132, 1 + 232 ) = ( 182, 242 ) = (9, 12)

Passo 5

Por fim, o ponto médio P do lado AB. Os pontos A=(5,1) e B=(8,9).
P = ( 5 + 82, 1 + 92 ) = ( 132, 102 ) = (6.5, 5)

Passo 6

Agora que temos os pontos médios, vamos encontrar as equações das retas que ligam cada vértice ao ponto médio oposto. A fórmula da equação da reta que passa por dois pontos X=(x1, y1) e Y=(x2, y2) é dada por:
y - y1 = m(x - x1)
onde m é o coeficiente angular, calculado por:
m = y2 - y1x2 - x1

Passo 7

Vamos começar com a reta que liga o vértice A ao ponto médio M.
  1. Pontos envolvidos: A=(5,1) e M=(10.5,16)
  2. Calculando o coeficiente angular mA:
mA = 16 - 110.5 - 5 = 155.5 = 3011
  1. Equação da reta:
y - 1 = 3011(x - 5)
Podemos deixar assim ou simplificar:
y = 3011x - 15011 + 1 = 3011x - 13911

Passo 8

Agora, a reta que liga o vértice B ao ponto médio N.
  1. Pontos envolvidos: B=(8,9) e N=(9,12)
  2. Calculando o coeficiente angular mB:
mB = 12 - 99 - 8 = 31 = 3
  1. Equação da reta:
y - 9 = 3(x - 8)
Simplificando:
y = 3x - 24 + 9 = 3x - 15

Passo 9

Por último, a reta que liga o vértice C ao ponto médio P.
  1. Pontos envolvidos: C=(13,23) e P=(6.5,5)
  2. Calculando o coeficiente angular mC:
mC = 5 - 236.5 - 13 = -18-6.5 = 3613
  1. Equação da reta:
y - 23 = 3613(x - 13)
Simplificando:
y = 3613x - 46813 + 23 = 3613x - 46813 + 29913 = 3613x - 16913

Resposta

As retas que ligam cada vértice aos respectivos pontos médios dos lados opostos são:
  • Reta de A a M: y = 3011x - 13911
  • Reta de B a N: y = 3x - 15
  • Reta de C a P: y = 3613x - 16913

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