Considere o triângulo A B C de vértices A=(1,2,2), B=(-2,3,2) e C=(0,5,2).
(a) A B C é equilátero, isósceles ou escaleno?
(b) Calcule o comprimento da mediana A M relativa ao lado B C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que é pedido. Temos um triângulo ABC com vértices nas coordenadas A=(1,2,2), B=(-2,3,2) e C=(0,5,2).
Conteúdo da matéria: Vamos falar sobre geometria analítica no espaço tridimensional, focando no cálculo de distâncias entre pontos para determinar as características do triângulo e calcular o comprimento de uma mediana.
O que vamos precisar: Fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D e conceito de medianas em triângulos.

Passo 2

Vamos calcular os comprimentos dos lados do triângulo ABC para saber se ele é equilátero, isósceles ou escaleno.
A fórmula para calcular a distância entre dois pontos P=(x1,y1,z1) e Q=(x2,y2,z2) no espaço 3D é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 3

Calculando o comprimento do lado AB:
AB = raiz(-2 - 1)^2 + (3 - 2)^2 + (2 - 2)^2 = raiz(-3)^2 + (1)^2 + (0)^2 = raiz9 + 1 + 0 = raiz10

Passo 4

Calculando o comprimento do lado AC:
AC = raiz(0 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (2 - 2)^2 = raiz(-1)^2 + (3)^2 + (0)^2 = raiz1 + 9 + 0 = raiz10

Passo 5

Calculando o comprimento do lado BC:
BC = raiz(0 - (-2))^2 + (5 - 3)^2 + (2 - 2)^2 = raiz(2)^2 + (2)^2 + (0)^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Agora que temos os comprimentos:
  • AB = raiz10
  • AC = raiz10
  • BC = 2raiz2
Como dois lados são iguais ( AB = AC) e o terceiro é diferente, o triângulo ABC é isósceles.

Passo 7

Para calcular o comprimento da mediana AM relativa ao lado BC, precisamos primeiro encontrar as coordenadas do ponto médio M de BC.
A fórmula para o ponto médio entre P=(x1,y1,z1) e Q=(x2,y2,z2) é:
M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 )

Passo 8

Calculando as coordenadas de M:
M = ( -2 + 02, 3 + 52, 2 + 22 ) = ( -22, 82, 42 ) = (-1, 4, 2)

Passo 9

Agora, calculamos a distância entre A=(1,2,2) e M=(-1,4,2) para encontrar o comprimento da mediana AM:
AM = raiz(-1 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2 = raiz(-2)^2 + (2)^2 + (0)^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2

Resposta

(a) O triângulo ABC é isósceles.
(b) O comprimento da mediana AM é 2raiz2 unidades.

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