Determine as coordenadas de um vetor x, de módulo 4, de mesmo sentido do vetor v=6 imath-2 jmath-3 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! O que a gente precisa aqui é encontrar as coordenadas de um vetor x que tem módulo 4 e está na mesma direção do vetor v = 6 imath - 2 jmath - 3 k. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra vetorial, como normalização e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a “mesma direção”. Dois vetores têm a mesma direção se um for um múltiplo escalar do outro. Então, nosso objetivo é encontrar um vetor x que seja igual a um escalar multiplicando v.

Passo 3

Para que x tenha módulo 4, precisamos primeiro encontrar a unidade do vetor v. A unidade de um vetor é um vetor com o mesmo sentido, mas com módulo 1. A fórmula para encontrar a unidade é:
v = v|v|
Onde |v| é o módulo de v.

Passo 4

Vamos calcular o módulo de v:
|v| = raiz6^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7

Passo 5

Agora, encontramos a unidade de v:
v = 6 imath - 2 jmath - 3 k7 = 67 imath - 27 jmath - 37 k

Passo 6

Para ter um vetor com módulo 4 na mesma direção, multiplicamos a unidade por 4:
x = 4 cdot v = 4 ( 67 imath - 27 jmath - 37 k ) = 247 imath - 87 jmath - 127 k

Resposta

As coordenadas do vetor x são ( dfrac247, -dfrac87, -dfrac127 ).

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